Question

16．如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着绳子另一端，使小球P在水平板内绕O点做半径为r，角速度为ω的匀速圆周运动．某时刻将绳子从这个状态迅速放松，后又绷直，使小球P绕O点做半径为R（R＞r）的匀速圆周运动，则
（1）从绳子放松到拉直这段过程经历了多长时间？
（2）后一次小球做匀速圆周运动时绳上拉力为多大？

Answer 1

分析 （1）放松绳子后，小球做匀速直线运动，结合几何关系求出匀速运动的位移，根据线速度与角速度的关系求出匀速运动的速度，从而得出从绳子放松到拉直这段过程经历的时间．
（2）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，到绳子突然张紧时，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出后一次小球做匀速圆周运动时绳上拉力．

解答 解：（1）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，如图；
由几何关系，位移为：x=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，
小球做匀速直线运动的速度v=rω，
可知从绳子放松到拉直这段过程经历的时间t=$\frac{x}{v}=\frac{\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{rω}$．
（2）小球沿圆弧切线方向飞出后，到达b轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，如图；
由几何关系得到，由v_b=v_asinθ=$\frac{r}{R}•rω=\frac{{r}^{2}ω}{R}$，
根据牛顿第二定律得，$F=m\frac{{{v}_{b}}^{2}}{R}$=$\frac{m{ω}^{2}{r}^{4}}{{R}^{3}}$．
答：（1）从绳子放松到拉直这段过程经历的时间为$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{rω}$．
（2）后一次小球做匀速圆周运动时绳上拉力为$\frac{m{ω}^{2}{r}^{4}}{{R}^{3}}$．

点评 解决本题的关键知道松手后，小球沿切线方向飞出，绷紧后，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动．