Question

4．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆细管竖立放置，两个质量均为m的小球A、B（小球直径略小于细管直径），以不同的速率沿光滑水平面运动后进入管内，若A球通过圆周最高点C时恰好对管壁没有作用力，B球通过圆周最高点C时，对管壁的作用力为0.75mg．求：
（1）A球到达圆周最高点C时的速度大小
（2）A球刚开始在水平面运动时的速度大小．
（3）A、B球第一次落到水平面地面后，它们间的水平距离．

Answer 1

分析 （1）A球通过圆周最高点时由重力提供向心力，由牛顿第二定律求其在最高点的速度．
（2）A在半圆形管道内运动的过程中，机械能守恒，据此列式可求得A球刚开始在水平面运动时的速度．
（3）B球通过最高点时，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出B球通过最高点的速度．两个小球离开C点后都做平抛运动，利用平抛运动的知识即可求得A、B两球落地点间的距离．

解答 解：（1）设A球到达圆周最高点C时的速度大小为v_A．
根据牛顿第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ …①
解得 v_A=$\sqrt{gR}$…②
（2）设A球刚开始在水平面运动时的速度大小为v′_A，小球A从水平面到达最高点的过程中，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}mv'_A^2=mg•2R+\frac{1}{2}mv_A^2$…③
解得：${v'_A}=\sqrt{5gR}$…④
（3）设B球到达圆周最高点C时的速度大小为v_B，小球A、B离开轨道最高点后都做平抛运动，则有：
 S=v•t，$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$…⑤
可得A球的水平位移大小为：${S_A}={v_A}\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
B球的水平位移大小为：${S_B}={v_B}\sqrt{\frac{4R}{g}}$…⑥
情况一：当小球B在最高点受到管壁内侧的作用为N=0.75mg时，
由牛顿第二定律可得：$mg-N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑦
A、B球第一次落到水平面地面后，它们间的水平距离为：△S=S_A-S_B…⑧
联立②⑥⑦⑧解得：△S=R
情况二：当小球B在最高点受到管壁外侧的作用为N=0.75mg时，
由牛顿第二定律可得：$mg+N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑨
A、B球第一次落到水平面地面后，它们间的水平距离为：△S=S_B-S_A …⑩
联立②⑥⑨⑩解得：$△S=\sqrt{7}R-2R$
答：
（1）A球到达圆周最高点C时的速度大小为$\sqrt{gR}$．
（2）A球刚开始在水平面运动时的速度大小为$\sqrt{5gR}$．
（3）A、B球第一次落到水平面地面后，它们间的水平距离为R或$\sqrt{7}$R-2R．

点评 本题管子与轻杆模型类似，在最高点，管子对球的作用力可能向上，也可能向下，对第3小题，在作用力方向未知的情况下，要分情况讨论，不能漏解．