Question

7．如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场．自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和-q（q＞0）的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出．小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开．已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍．不计空气阻力，重力加速度大小为g．求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小．

Answer 1

分析 （1）抓住两球在电场中，水平方向上的加速度大小相等，一个做匀加速直线运动，一个做匀减速直线运动，在竖直方向上的运动时间相等得出水平方向时间相等，结合运动学公式求出M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）根据离开电场时动能的大小关系，抓住M做直线运动，得出M离开电场时水平分速度和竖直分速度的关系，抓住M速度方向不变，结合进入电场时竖直分速度和水平分速度的关系，根据速度位移公式求出A点距电场上边界的高度；
（3）结合带电小球M电场中做直线运动，结合速度方向得出电场力和重力的关系，从而求出电场强度的大小．

解答 解：（1）两带电小球的电量相同，可知M球在电场中水平方向上做匀加速直线运动，N球在水平方向上做匀减速直线运动，水平方向上的加速度大小相等，
两球在竖直方向均受重力，竖直方向上做加速度为g的匀加速直线运动，由于竖直方向上的位移相等，则运动的时间相等，
设水平方向的加速度大小为a，
对M，有：${x}_{M}={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
对N：v₀=at，${x}_{N}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
可得${x}_{M}=\frac{3}{2}a{t}^{2}$，
解得x_M：x_N=3：1．
（2、3）设正电小球离开电场时的竖直分速度为v_y，水平分速度为v₁，两球离开电场时竖直分速度相等，
因为M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍，则有：$\frac{1}{2}m（{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{1}}^{2}）=1.5×\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{y}$，
因为v₁=v₀+at=2v₀，则${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{y}$=2v₀，
因为M做直线运动，设小球进电场时在竖直方向上的分速度为v_y1，则有：$\frac{{v}_{y1}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$，解得v_y1=$\frac{1}{2}{v}_{y}$，
在竖直方向上有：$\frac{{{v}_{y1}}^{2}}{2g}=h$，$\frac{{{v}_{y}}^{2}-{{v}_{y1}}^{2}}{2g}=H$，
解得A点距电场上边界的高度h=$\frac{H}{3}$．
因为M做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，
有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}=\frac{mg}{qE}$=$\sqrt{2}$，
则电场的电场强度E=$\frac{mg}{\sqrt{2}q}$=$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$．
答：（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比为3：1
（2）A点距电场上边界的高度为$\frac{H}{3}$；
（3）该电场的电场强度大小为$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$．

点评 本题考查了带电小球在复合场中的运动，理清两球在整个过程中的运动规律，将运动分解为水平方向和竖直方向，结合运动学公式灵活求解．