Question

18．如图所示，水桶盖上有一个小物块，桶盖的质量为M，小物块的质量为m，放在桶盖的正中央，桶盖是一块半径稍稍大于水桶半径的木板，桶盖与小物块之间有摩擦，且动摩擦因数为μ，桶盖与桶之间的摩擦不计．现瞬间给桶盖一个向右的初速度为v₀，使之向右滑出，右边有一个与水桶等高的光滑台面，其作用是保证桶盖不会翻倒．
求：（1）若小物块不能滑出桶盖，则经过多长时间，桶盖与小物块才相对静止？
（2）如果小物块能够从桶盖上掉下来，试分析说明：它总是掉在桶内，而不会掉在桶外．

Answer 1

分析 （1）若小物块不能滑出桶盖，小物体和桶盖系统水平方向不受外力，系统动量守恒，根据动量守恒定律列式；然后对小物块根据动量定理列式；最后联立求解；
（2）要使小物块能够从桶盖上掉下来，桶盖的初速度必须足够大，考虑恰好不掉下来的临界情况，根据牛顿第二定律求解两个物体的加速度，根据运动学公式列式后联立分析．

解答 解：（1）小物块不能滑出桶盖，最后是相对静止，系统动量守恒，根据动量守恒定律，有：
Mv₀=（M+m）v   ①
对小物块，根据动量定理，有：
μmgt=mv     ②
联立①②解得：
t=$\frac{M{v}_{0}}{μ（M+m）g}$
（2）小物块做匀加速直线运动，如果小物块能够从桶盖上掉下来，则最大速度v₁≤v，v为第1问中的共同速度；
根据牛顿第二定律，对滑块，有：
F_合=μmg=ma 
对桶盖，有：
F_合=-μmg=Ma′
考虑恰好不掉下来的临界情况，根据速度位移公式，有：
${v}_{1}^{2}=2ax$ 
${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}=2a′x′$
x′-x=r
联立解得：
x=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}=\frac{{（\frac{M{v}_{0}}{M+m}）}^{2}}{2（μg）}$=$\frac{{M}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（M+m）^{2}μg}$=r
答：（1）若小物块不能滑出桶盖，则经过$\frac{M{v}_{0}}{μ（M+m）g}$时间，桶盖与小物块才相对静止；
（2）如果小物块能够从桶盖上掉下来，它总是掉在桶内，而不会掉在桶外．

点评 题目中物体m和桶盖M系统动量守恒，同时要结合牛顿第二定律求解加速度，根据运动公式分析相对运动情况，较难．