Question

2．某同学査资料得知，弹簧的弹性势能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度的变化量．于是设想用压缩的弹簧推静止的小球（质量为m）运动来初步探究“外力做功与物体动能变化的关系”．为了研究方便，把小球放在水平桌面上做实验，让小球在弹力作用下运动，即只有弹簧弹力做功．（重力加速度为g）该同学设计实验如下．
（1）首先进行如图甲所示的实验：将轻质弹簧竖直挂起来，在弹簧的另一端挂上小球，静止时测得弹簧的伸长量为d，在此步骤中，目的是要确定弹簧的劲度系数k，用m、d、g表示为$\frac{mg}{d}$．
  （2）接着进行如图乙所示的实验：将这根弹簧水平放在桌面上，一端固定，另一端被小球压缩，测得压缩量为x，释放弹簧后，小球被推出去，从高为h的水平桌面上抛出，小球在空中运动的水平距离为L．
小球的初动能E_k1=0；
小球离开桌面的动能E_k2=$\frac{mg{L}^{2}}{4h}$（用m、g、L、h表示），
弹簧对小球做的功W=$\frac{mg{x}^{2}}{2d}$（用m、x、d、g表示）．
对比W和E_k2-E_k1就可以得出“外力做功与物体动能变化的关系”．
需要验证的关系为$\frac{{x}^{2}}{d}=\frac{{L}^{2}}{2h}$（用所测物理量d，x、h、L表示）．

Answer 1

分析 （1）根据重力和弹簧的弹力平衡求出弹簧的劲度系数．
（2）根据平抛运动的高度和水平位移，结合平抛运动的规律求出平抛运动的初速度，从而得出小球离开桌面时的动能大小．根据弹性势能的变化求出弹簧对小球做功的大小．根据弹力做功与动能的变化相等得出验证的关系式．

解答 解：（1）根据平衡有；mg=kd，解得弹簧的劲度系数k=$\frac{mg}{d}$；
（2）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，则初速度${v}_{0}=\frac{L}{t}=L\sqrt{\frac{g}{2h}}$，则小球的初动能为零，小球离开桌面的动能E_k2=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=$\frac{mg{L}^{2}}{4h}$．
弹簧对小球做功等于弹性势能的减小量，则W=$\frac{1}{2}k{x}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{mg}{d}{x}^{2}$=$\frac{mg{x}^{2}}{2d}$．
验证的关系式为$\frac{mg{x}^{2}}{2d}=\frac{mg{L}^{2}}{4h}$，即$\frac{{x}^{2}}{d}=\frac{{L}^{2}}{2h}$．
故答案为：（1）$\frac{mg}{d}$，（2）0，$\frac{mg{L}^{2}}{4h}$，$\frac{mg{x}^{2}}{2d}$，$\frac{{x}^{2}}{d}=\frac{{L}^{2}}{2h}$．

点评 本题借助于平抛运动以及胡克定律，考查探究外力做功与物体动能变化关系的能力，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．