Question

16．一质量为m₂的长木板静止在光滑水平桌面上．一质量为m₁的小滑块以水平速度v₀从长木板的一端开始在木板上滑动，直到离开木板，滑块刚离开木板时的速度为$\frac{{v}_{0}}{3}$．已知小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ，求：
（1）小滑块刚离开木板时木板的速度为多少？
（2）小滑块刚离开木板时，木板在桌面上运动的位移？

Answer 1

分析 木板在光滑桌面上滑动时滑块和木板利用牛顿第二定律和运动学公式及动能定理列式；
由动能定理对木板和滑块分别研究列出等式，再研究当板固定时运用动能定理求解滑块离开木板时的速度；应用动量守恒和运动学公式求位移．

解答 解：（1）设木板长为L，木板在光滑水平桌面上时小滑块经时间t 离开木板，该过程滑块和木板相对大地的位移分别为x₁和x₂，滑块运动加速度大小为a₁，木板运动加速度大小为a₂，滑块与木板之间的滑动摩擦力大小为 f，滑块离开木板时木板速度为v，于是有 x₁-x₂=L
对滑块，f=m₁a₁，
$\frac{1}{3}$v₀=v₀-a₁t，
$\frac{1}{2}$m₁（$\frac{1}{3}$v₀）²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²=-fx₁；
对木板，f=m₂a₂，
v=a₂t，
$\frac{1}{2}$m₂v²=fx₂；
综合以上各式得：$\frac{1}{2}$m₁（$\frac{1}{3}$v₀）²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²+$\frac{1}{2}$m₂（$\frac{2{m}_{1}{V}_{0}}{3{m}_{2}}$）²=-fL
木板固定在水平桌面上，设滑块刚离开木板时滑块的速度为v′，则$\frac{1}{2}$m₁v′²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²=-fL
联立解得 v′=$\frac{{V}_{0}}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}$
（2）以滑块和木板为对象，动量守恒：m₁V₀=m₁V′+m₂V
对木板：${V}^{2}=2\frac{μ{m}_{1}g}{{m}_{2}}$x₂
联立得：x₂=$\frac{{m}_{1}{V}_{0}^{2}（1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}）^{2}}{2μ{m}_{2}g}$
答：（1）滑块刚离开木板时滑块的速度$\frac{{V}_{0}}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}$
（2）小滑块刚离开木板时，木板在桌面上运动的位移$\frac{{m}_{1}{V}_{0}^{2}（1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}）^{2}}{2μ{m}_{2}g}$

点评 当遇到相互作用的问题时，要想到应用牛顿第二定律和运动学公式；
一个题目可能选择不同的研究对象运用动能定理求解，要注意求解功时的位移是物体相对于地面的位移