Question

6．小船在静水中速度为5m/s，河水速度为3m/s，河宽600m，求：
（1）若要小船以最短时间过河，开船方向怎样？最短时间为多少？小船在河水中实际行驶的距离是多大？
（2）若要小船以最短距离过河，开船方向怎样（即船头与河岸上游或下游夹角）？过河时间为多少？（结果可用三角函数表示，如有根式，可化简后保留）

Answer 1

分析 （1）船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）船头垂直于岸渡河时间最短，最短时间：
t_min=$\frac{d}{{v}_{船}}$=$\frac{600}{5}$=120s
合速度：v=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$m/s
实际距离：S=vt=$\sqrt{34}$×120=120$\sqrt{34}$m
（2）设船头与河岸上游的夹角为θ，当合速度与河岸方向垂直时，渡河航程最短．
有：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：θ=53°
合速度的大小为：v=v_船sinθ=5×0.8m/s=4m/s，
则渡河的时间为：t=$\frac{d}{v}$=$\frac{600}{4}$s=150s
答：（1）若要小船以最短时间过河，船头垂直于岸渡河，最短时间为120s，小船在河水中实际行驶的距离是120$\sqrt{34}$m；
（2）若要小船以最短距离过河，开船的方向与河岸上游的夹角为53°，过河的时间为150s．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．