Question

15．倾?为37° 的?够长斜?上等间距的放着7个正?形?块，从上到下依次编号1、2、3、…，上、下相邻两?块质量之?均为2：1，即：$\frac{m_1}{m_2}$=$\frac{m_2}{m_3}$=…=$\frac{m_6}{m_7}$=2；若?块7质量m₇=1kg，上端粘有橡?泥，各相邻?块之间距离均为L=7m，?块与斜?间的动摩擦因数均为?=$\frac{7}{8}$，最初所有?块均静?在斜?上，现给?块1初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s，运动过程中?块6与?块7的碰撞为完全?弹性碰撞（碰撞后粘在?起），其余?块之间的碰撞均为弹性碰撞（碰撞中?机械能损失），重?加速度为g=10m/s²，求：
（1）?块1与?块2碰后?块2的速度??；
（2）?块1运动的最?位移；
（3）整个过程所有?块组成的系统损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）先根据动能定理求出?块1与?块2碰撞前瞬间木块1的速度．再根据动量守恒定律和机械能守恒定律结合求解碰后?块2的速度??；
（2）对于碰后?块1的运动过程，由动能定理求其运动的最?位移；
（3）采用同样的方法求解2与3、3与4…各个木块碰后的速度，根据能量守恒求整个过程所有?块组成的系统损失的机械能．

解答 解：（1）木块1下滑的过程做匀减速运动，由动能定理得：
m₁gLsin37°-μm₁gLcos37°=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
解得木块1与木块2碰撞前的速度为：v₁=3$\sqrt{2}$m/s
对木块1、2碰撞过程，取沿斜面向下为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂．
根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₁v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₁′²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
联立解得：
v₁′=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₁=$\frac{1}{3}$v₁=$\sqrt{2}$m/s
v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₁=$\frac{4}{3}$v₁=4$\sqrt{2}$m/s．
（2）碰后木块1继续向下匀减速运动，由动能定理得：
0-$\frac{1}{2}$m₁v₁′²=-μm₁gx₁cos37°
木块1运动的最?位移为：
x_m=L+x₁．
联立解得：x_m=8m
（3）由于碰后木块2获得的速度和最初木块1获得的速度相同，可得所有木块碰后获得的速度均相同，木块6碰木块7前的速度仍为：
v₁=3$\sqrt{2}$m/s
木块6与木块7碰撞过程，取沿斜面向下为正方向，由动量守恒定律得：
m₆v₁=（m₆+m₇）v，
得：v=2$\sqrt{2}$m/s
木块6与木块7碰后一起向下减速，由动能定理得：
0-$\frac{1}{2}$（m₆+m₇）v²=-μ（m₆+m₇）gx₂cos37°，
得 x₂=4m
木块1到5小木块运动的最大位移均为：x_m=8m
全过程系统减少的重力势能为：
△E_p=（m₁+m₂+…+m₅）gx_msin37°+m₆g（L+x₂）sin37°+m₇gx₂sin37°
=（2⁶+2⁵+…+2²）×48+132+24=4×（2⁵-1）×48+156=3×2¹¹-36=6108J
减少的动能为：△E_k=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$=1024J
系统损失的机械能为：△E=△E_p+△E_k=7×10¹⁰-36=7132J．
答：（1）?块1与?块2碰后?块2的速度??是4$\sqrt{2}$m/s；
（2）?块1运动的最?位移是8m；
（3）整个过程所有?块组成的系统损失的机械能是7132J．

点评 分析清楚木块的运动过程，把握规律是解决本题的关键．要知道弹性碰撞遵守两大守恒：动量守恒和机械能守恒．涉及求距离时要首先考虑动能定理．