Question

3．物理学对电场和磁场的研究促进了现代科学技术的发展，提高了人们的生活水平．
（1）现代技术设备中常常利用电场或磁场来改变或控制带电粒子的运动．现有一质量为m、电荷量为e的电子由静止经电压为U的加速电场加速后射出（忽略电子所受重力）．
a．如图甲所示，若电子从加速电场射出后沿平行极板的方向射入偏转电场，偏转电场可看作匀强电场，板间电压为U′，极板长度为L，板间距为d，求电子射入偏转电场时速度的大小v以及射出偏转电场时速度偏转角θ的正切值；
b．如图乙所示，若电子从加速电场射出后沿直径方向进入半径为r的圆形磁场区域，该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里．设电子射出磁场时的速度方向与射入时相比偏转了θ′角，请推导说明增大偏转角θ′的方法（至少说出两种）．
（2）磁场与电场有诸多相似之处．电场强度的定义式E=$\frac{F}{q}$，请你由此类比，从运动电荷所受的洛伦兹力F_洛出发，写出磁感应强度B的定义式；并从宏观与微观统一的思想出发构建一个合适的模型，推理论证该定义式与B=$\frac{{F}_{安}}{IL}$这一定义式的一致性．

Answer 1

分析 （1）a．分析可知粒子在加速场中做加速运动，运用动能定理即可求出粒子的速度，进入偏转电场后粒子做类平抛运动，运用运动的合成和分解结合牛顿第二定律以及速度偏转角公式，联立即可求出偏转角θ的正切值；
b．加速过程与a问中相同，进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力结合几何关系，求出含θ′的表达式，改变表达式中的参量，即可找出使增大偏转角θ′的方法；
（2）建立围观模型，通过电流的微观表达式I=nqSv，找到q和I之间的关系，即可证明两个定义式的一致性．

解答 解：（1）a．在加速电场中，由动能定理可得：eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
在偏转电场中，电子做类平抛运动，设运动时间为t
有运动的分解可知：
水平方向：L=vt
竖直方向：v_y=at，$\frac{U′}{d}e$=ma
速度偏转角正切值为：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$
解得：tanθ=$\frac{U′L}{2Ud}$
b．由a问可知，入射电场的速度：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
在匀强磁场中，电子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\sqrt{\frac{2Um}{e{B}^{2}}}$
电子在磁场中的运动轨迹如图所示

tan$\frac{θ′}{2}$=$\frac{r}{R}$
解得：tan$\frac{θ′}{2}$=r$\sqrt{\frac{e{B}^{2}}{2Um}}$
增大偏转角θ′即增大tan$\frac{θ′}{2}$，可采用的方法有：
增大磁场应强度B，增大匀强磁场半径r，减小加速电压U
（2）由洛伦兹力公式得：F_洛=qvB可知，B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$
根据题意构建模型如下：
如图所示，在一匀强磁场中有一段固定的长为L的直导线，已知导线横截面积为S，
单位体积内自由电荷数为n，导线内自由电荷定向运动速率为v，磁场的磁感应强度为B

则导线内自由电荷数：N=nSL
安培力与洛伦兹力的关系为：F_安=N•F_洛，
导线内电流的微观表达式：I=nqSv，
联立上面三个式子可得：B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$=$\frac{{F}_{安}}{Nqv}$=$\frac{{F}_{安}}{qv•nSL}$=$\frac{{F}_{安}}{IL}$
即定义式：B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$与B=$\frac{{F}_{安}}{IL}$这一定义式是一致的．
答：（1）a．电子射入偏转电场时速度的大小v为$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$，射出偏转电场时速度偏转角θ的正切值为$\frac{U′L}{2Ud}$；
b．增大偏转角θ′的方法：增大磁场应强度B，增大匀强磁场半径r，减小加速电压U；
（2）磁感应强度B的定义式为B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$，证明过程见解析．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题的关键是要正确画出粒子轨迹过程图，明确每一个过程粒子的运动性质，针对每一个过程选择合适的规律解决问题；第二问较难，要根据两个定义式中的物理量建立微观物理模型才能证明出两个定义式的一致性．