Question

12．如图所示，在xOy平面内，将质量为m的小物体（可看成质点）以一定速度从A点斜向上抛出，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l₀为常数，忽略空气阻力，求：
（1）小物体从A到C过程中重力对它做的功；
（2）小物体从A到C过程所经历的时间；
（3）小物体经过C点时的速率．

Answer 1

分析 （1）由题意明确物体下落的高度，由功的公式即可求得重力的功；
（2）粒子在x轴方向上做匀速直线运动，根据水平位移可明确AO、BO及BC时间相等，由竖直方向的匀变速直线运动可求得时间；
（3）由类平抛运动规律可求得水平和竖直竖直，再由运动的合成与分解求得合速度．

解答 解：（1）由图可知，物体下落的高度为3l₀；
粒子从A到C重力做功为W=3mgl₀
（2）根据抛体运动的特点，粒子在x轴方向做匀速直线运动，由对称性可知，轨迹是最高点D在y轴上，可令t_A0=t_oB=T，t_BC=T；
由又y=$\frac{1}{2}$gT²
y+3l₀=$\frac{1}{2}$g（2T）²
解得：T=$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
则A到C过程所经历的时间t=3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
（3）粒子在DC段做平抛运动，则有：
2l₀=v_Cx（2T）；
v_cy=g（2T）
v_c=$\sqrt{{v}_{Cx}^{2}+{v}_{Cy}^{2}}$=$\sqrt{\frac{17{l}_{0}}{2g}}$
答：（1）小物体从A到C过程中重力对它做的功为3mgl₀；
（2）小物体从A到C过程所经历的时间为3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$；
（3）小物体经过C点时的速率为$\sqrt{\frac{17{l}_{0}}{2g}}$．

点评 本题考查平抛运动的性质，要注意明确小球在水平方向为匀速运动，竖直方向为匀变速直线运动；掌握运动的合成与分解即可顺利求解．