题目内容

19．如图所示，两垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界，MN边界上方磁场的磁感应强度大小B1大于下方磁场的磁感应强度大小B2（未知）．有一长为l的绝缘平直挡板与MN重合，一个质量为m，电量为q的带正电粒子，从挡板的中点O处沿垂直挡板方向以速度v=$\frac{q{B}_{1}l}{mk}$（k为偶数）进入上方磁场中，假设粒子与挡板发生碰撞并反弹过程没有能量损失，且粒子在下方磁场中运动时不会与挡板发生碰撞，粒子最终能回到出发点O，不计粒子重力．若k=4，则粒子从挡板边缘进入下方磁场中．求：
（1）若k=4，粒子在MN边界上方磁场中运动的轨迹半径．
（2）试画出k=10时粒子的运动轨迹．
（3）求两磁场的磁感应强度大小的比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

分析 （1）由洛伦兹力作向心力求解半径即可；
（2）由粒子回到O点、粒子运动与挡板的关系及挡板长度与粒子运动半径的关系得到上下磁场运动半径的关系，进而得到运动轨迹；
（3）由R1的表达式可知要分$\frac{k}{2}$为奇数、偶数两种情况讨论即可由（2）的半径关系得到磁感应强度之比．

解答 解：（1）粒子在MN边界上方磁场中运动时，粒子只受洛伦兹力，所以有，洛伦兹力作为向心力，即有：${B}_{1}qv=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
所以，粒子在MN边界上方磁场中做圆周运动的半径为：${R}_{1}=\frac{mv}{{B}_{1}q}=\frac{l}{k}=\frac{l}{4}$；
（2）由（1）可知，粒子在MN边界上方磁场中做圆周运动的半径为：${{R}_{1}}^{'}=\frac{l}{k}=\frac{l}{10}$；
挡板O点左端长$\frac{l}{2}$=$5{{R}_{1}}^{'}$，所以，粒子与挡板碰撞两次后进入下方，进入下方磁场的入射点距离挡板左端${{R}_{1}}^{'}$；
粒子在下方磁场中运动时不会与挡板发生碰撞，所以在下方磁场粒子运动半径有：${2R}_{2}≥11{{R}_{1}}^{'}$；
因为粒子最终能回到出发点O，所以有：$2{R}_{2}-2{{R}_{1}}^{'}=10{{R}_{1}}^{'}$，
所以粒子的运动轨迹如图所示，
（3）由${R}_{1}=\frac{l}{k}$，且k为偶数，根据粒子的运动轨迹可知，分两种情况
①当k为4的倍数时，粒子从挡板边缘进入下方磁场，此时${R}_{2}=\frac{l}{2}$，所以$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{l}{k}}=\frac{k}{2}$；
②当k不是4的倍数时，粒子从距挡板边缘R1处进入下方磁场，此时${R}_{2}=\frac{l}{2}+{R}_{1}$，所以$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{l}{2}+{R}_{1}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{l}{k}}+1=\frac{k}{2}+1$．
答：（1）若k=4，粒子在MN边界上方磁场中运动的轨迹半径为$\frac{l}{4}$；
（3）当k为4的倍数时，两磁场的磁感应强度大小的比值为$\frac{k}{2}$；当k不是4的倍数时，两磁场的磁感应强度大小的比值为$\frac{k}{2}+1$．

点评 带电粒子在磁场中的问题，一般利用洛伦兹力作为向心力，求得半径的表达式，然后，根据几何关系求解．

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