Question

19．如图所示在光滑的水平地面上静止放置一辆，上表面光滑右端固定一个半径为R光滑的四分之一圆弧的小车，小车的质量为2m（包括圆弧轨道），质量为m的物体以v₀沿水平方向向右运动冲上小车，在之后的运动过程中物体能从轨道上端飞出，
求（1）物体向右运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力是多大
（2）物体A上升的最大高度
（3）小车能够获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）根据物体在圆弧最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力，从而得出压力的大小．
（2）物块在轨道上滑行过程，物块和小车在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，机械能守恒也守恒，当物块从轨道上端飞出时，物块与小车具有水平上的相同的速度，根据两个守恒列方程求解物块从轨道上端飞出后，能上升的最大高度．
（3）物块滑回轨道，从轨道左端离开滑块时，小车的速度最大，根据水平方向动量守恒和机械能守恒结合求解．

解答 解：（1）物块在水平面上向右运动过程中，由于光滑，所以小车不动，物块到达圆弧最底端的速度不变，根据牛顿第二定律得：
$N-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
根据牛顿第三定律知，物体对圆弧轨道最低点的压力为mg+$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$．
（2）当物体A上升到最大高度时，物块和小车在水平方向上动量守恒，规定向右为正方向，根据动量守恒得：
mv₀=（m+2m）v，
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，
根据能量守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}3m{v}^{2}+mgh$
解得：h=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3g}$．
（3）物体从轨道左端离开小车时，小车的速度最大，根据动量守恒，则有：
mv₀=mv₁+2mv₂
根据机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}2m{{v}_{2}}^{2}$，
联立解得：${v}_{2}=\frac{2}{3}{v}_{0}$．
答：（1）物体向右运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力是mg+$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$．
（2）物体A上升的最大高度为$\frac{v_0^2}{3g}$．
（3）小车能够获得的最大速度为$\frac{{2{v_0}}}{3}$．

点评 本题是系统水平方向动量和机械能守恒的问题，容易出错的地方是认为物块上升到最高点时，滑块的速度最大，要注意分析过程，在物块上滑和下滑的过程中，小车都在加速，则物块滑回轨道，从轨道左端离开滑块时，小车的速度最大．