Question

18．如图所示，在倾角为θ的斜面上，有两条很长、光滑的、间距为L的平行金属导轨固定其上，导轨电阻忽略不计，轨道间分布着条形匀强磁场区域，磁场区域的宽度为d₁，磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直向下，磁场区域之间的距离为d₂，两根质量均为m，电阻为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直．（设重力加速度为g）
（1）若a固定在第2个磁场区域上边，b固定在第1个磁场区域上边，同时释放a、b棒，求：b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△E_k；
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域，且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，求：b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．

Answer 1

分析 （1）a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域时，穿过回路的磁通量不变，没有感应电流产生，两棒均不受安培力，机械能守恒，可求出△E_k．
（2）两棒分在磁场区域中和无磁场区域中运动两个过程研究：在磁场区域中，导体棒的动能和重力势能转化为内能；在无磁场区域中机械能守恒，则可根据能量守恒和机械能守恒列式求出b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）本问有一定的难度，由于导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，其加速度是变化的，因此不能用匀变速运动知识解答，可以通过微积分思想进行解答，如在极短的时间内安培力可以认为不变，利用牛顿第二定律列方程，然后根据数学知识求解．

解答 解：（1）a和b不受安培力作用，由机械能守恒知：△E_k=mgd₁sinθ
（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v₁，刚离开无磁场区域时的速度为v₂，由能量守恒知
在磁场区域中有：$\frac{1}{2}m{v}_1^2+Q=\frac{1}{2}m{v}_2^2+mg{d_1}sinθ$ 
在无磁场区域中有：$\frac{1}{2}m{v}_2^2=\frac{1}{2}m{v}_1^2+mg{d_2}sinθ$ 
解得：Q=mg（d₁+d₂）sinθ 
（3）在无磁场区域，根据匀变速直线运动规律有：v₂-v₁=gtsinθ
且平均速度为：$\frac{{{{v}_1}+{{v}_2}}}{2}=\frac{d_2}{t}$ 
有磁场区域，棒a受到合力为：F=mgsinθ-BIl
感应电动势为：ε=Blv
感应电流为：$I=\frac{ε}{2R}$ 
解得：$F=mgsinθ-\frac{{{B^2}{l^2}}}{2R}{v}$ 
根据动量定理，在t秒内有：Ft=m（v₁-v₂）
得：v₁-v₂=gtsinθ-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{2mR}{d}_{1}$
解得：${{v}_1}=\frac{{4mgR{d_2}}}{{{B^2}{l^2}{d_1}}}sinθ-\frac{{{B^2}{l^2}{d_1}}}{8mR}$
由题意知：${v}={{v}_1}=\frac{{4mgR{d_2}}}{{{B^2}{l^2}{d_1}}}sinθ-\frac{{{B^2}{l^2}{d_1}}}{8mR}$
答：（1）b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△E_k为mgd₁sinθ．
（2）b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q为mg（d₁+d₂）sinθ．
（3）a穿出第k个磁场区域时的速率v为$\frac{4mgR{d}_{2}}{{B}^{2}{l}^{2}{d}_{1}}sinθ$-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{d}_{1}}{8mR}$．

点评 注意克服安培力做功为整个回路中产生的热量；本题的难点在于第（3）问，方法巧妙，在平时练习中一定注意数学知识在物理中的应用．