Question

15．半径为R的透明半圆柱体玻璃砖竖直放置，截面如图所示，虚线为过圆心且垂直于直径MN的水平直线，一束单色光平行于虚线方向射向玻璃砖，入射点A到虚线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光线经弧面折射的折射角为30°，再经MN面折射后的光线与虚线的交点为B（未画出），求：
①玻璃砖的折射率；
②B点到圆心O的距离．

Answer 1

分析 ①根据几何关系求出光线在A点的入射角，由折射定律求玻璃砖的折射率；
②再由折射定律求出光线射出MN面时的折射角，即可由几何知识求B点到圆心O的距离．

解答 解：①由题意可知：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°，r₁=30°，i₁=θ，所以：
玻璃砖的折射率 n=$\frac{sin{i}_{1}}{sin{r}_{1}}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
②由图可知 α=30°，所以 i₂=90°-r₁-α=30°
根据折射定律有 n=$\frac{sin{r}_{2}}{sin{i}_{2}}$，解得：r₂=60°．
由几何关系有 $\overline{AF}$=$\overline{CF}$tani₂=$\frac{\sqrt{3}}{6}$R
所以：$\overline{OC}$=$\overline{AE}$-$\overline{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
$\overline{OB}$=$\overline{OC}$cotr₂=$\frac{R}{3}$．
答：
①玻璃砖的折射率是$\sqrt{3}$；
②B点到圆心O的距离是$\frac{R}{3}$．

点评 对于几何光学问题，要准确作出光路图，结合几何知识和折射定律进行分析和求解．