Question

12．一根足够长的空心铜管竖直放置，使一枚直径略小于铜管内径、质量为m₀的圆柱形强磁铁从管内某处由静止开始下落，如图所示，它不会做自由落体运动，而是非常缓慢地穿过铜管，在铜管内下落时的最大速度为v₀．强磁铁在管内运动时，不与铜管内壁发生摩擦，空气阻力也可以忽略．产生该现象的原因是变化的磁场在铜管内激发出了涡流，涡流反过来又对强磁铁产生了很大的阻力．虽然该情景中涡流的定量计算非常复杂，我们可以认为强磁铁下落过程中，铜管中的感应电动势大小与强磁铁下落的速度成正比且强磁铁周围铜管的有效电阻是恒定的．已知重力加速度为g，对下述问题进行分析．
（1）求图中的强磁铁达到最大速度后铜管的热功率P₀；
（2）如果在图中强磁铁的上面粘一个质量为m₁的绝缘橡胶块，则强磁铁下落的最大速度v₁是多大？
（3）若在图中，质量为m₀的强磁铁从静止下落，经过时间t后达到最大速度v₀，求此过程强磁铁的下落高度h．

Answer 1

分析 （1）由强磁铁受力平衡得到安培力，继而得到克服安培力做功的功率即铜管的热功率；
（2）首先由受力平衡得到安培力的表达式，然后对粘橡胶块的情况进行分析，即可根据受力平衡得到速度；
（3）先对强磁铁进行受力分析，然后对任一极短时间应用动量守恒定律，继而对其累加，得到整个过程的守恒式，即可解得下落高度．

解答 解：（1）强磁铁只受安培力和重力作用，那么，强磁铁达到最大速度后，必有安培力等于重力，所以，这时，任一极短时间，克服安培力做的功等于重力做的功；那么，铜管的热功率等于重力做功的功率，所以，P₀=mgv₀；
（2）铜管中的感应电动势大小与强磁铁下落的速度成正比且强磁铁周围铜管的有效电阻是恒定的，则电流I与速度v成正比，
那么，强磁铁受到的安培力F与速度v成正比，设为F=kv；
所以由（1）可得：m₀g=kv₀；
强磁铁的上面粘一个质量为m₁的绝缘橡胶块，仍有强磁铁下落速度最大时，受力平衡，即：m₀g+m₁g=kv₁；
所以，${v}_{1}=\frac{{（m}_{0}+{m}_{1}）g}{k}=\frac{{m}_{0}+{m}_{1}}{{m}_{0}}{v}_{0}$；
（3）任意时刻有F=kv，那么，强磁铁受到的合外力为m₀g-kv，应用动量守恒定理可得：在极短时间△t内，恒有（m₀g-kv）•△t=m₀•△v；
所以，对于质量为m₀的强磁铁从静止下落，经过时间t后达到最大速度v₀的全过程有：m₀gt-kh=m₀v₀；
所以，$h=\frac{{m}_{0}gt-{m}_{0}{v}_{0}}{k}=\frac{{m}_{0}{v}_{0}（gt-{v}_{0}）}{{m}_{0}g}=\frac{（gt-{v}_{0}）{v}_{0}}{g}$；
答：（1）求图中的强磁铁达到最大速度后铜管的热功率P₀为mgv₀；
（2）由此分析，如果在图中强磁铁的上面粘一个质量为m₁的绝缘橡胶块，则强磁铁下落的最大速度v₁是$\frac{{m}_{0}+{m}_{1}}{{m}_{0}}{v}_{0}$；
（3）若在图中，质量为m₀的强磁铁从静止下落，经过时间t后达到最大速度v₀，求此过程强磁铁的下落高度h为$\frac{（gt-{v}_{0}）{v}_{0}}{g}$．

点评 在求解闭合电路切割磁感线的问题中，一般由速度得到电动势，进而根据电路得到电流，最后得到安培力的表达式；对导体棒进行受力分析，应用牛顿第二定律，联系导体棒运动状态求解问题．