题目内容
如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．AO、BO的长分别为2L和L．开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动，（sin37°=0.6），不计直角尺的质量，求：（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，需要对该系统做功．则至少要对该系统做多少功？
分析：（1）A、B两个球组成的系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒列式可以求得A、B速度之间的关系，同时由于AB是同时转动的，它们的角速度的大小相同，由v=ωr得到两球速度大小关系．联立即可求解v．
（2）B球到达最大高度时速度一定为零，根据系统的机械能守恒求解最大高度h．
（3）转动过程中系统的总重力势能最大时，总动能最小．要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，系统应转过动能最小处．根据功能关系进行分析求解．
（2）B球到达最大高度时速度一定为零，根据系统的机械能守恒求解最大高度h．
（3）转动过程中系统的总重力势能最大时，总动能最小．要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，系统应转过动能最小处．根据功能关系进行分析求解．
解答：解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．
（1）过程中A、B转动的角速度始终相同，由v=ωr得，vA=2vB
由系统的机械能守恒得△EPA=△EKA+△EKB+△EPB
即：2mg?2L=3mg?L+
?2m?v2+
?3m?
解得 v=
（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角．如图所示（2）．则有
2mg?2Lcosα=3mg?L（1+sinα）
此式可化简为 4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）转动过程中系统的重力势能最大时，动能最小．要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，系统应转过动能最小处．如图（3）所示．
取OA杆的初始位置为零势能参考点，则如图（3）所示处系统的重力势能威者EP=2mg?2Lcosθ+3mg?Lsinθ
此式可化简为EP=mgL（4cosθ+3sinθ）≤5mgL
系统的重力势能最大值EP=5mgL
系统位于初始位置的重力势能EP0=-3mg?L
由功能观点有：W=△EP增
则得W=EP-EP0=8mgL
至少要对该系统做功W=8mgL
答：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v是
；
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，需要对该系统做功．则至少要对该系统做8mgL的功．
（1）过程中A、B转动的角速度始终相同，由v=ωr得，vA=2vB
由系统的机械能守恒得△EPA=△EKA+△EKB+△EPB
即：2mg?2L=3mg?L+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 B |
解得 v=
|
（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角．如图所示（2）．则有
2mg?2Lcosα=3mg?L（1+sinα）
此式可化简为 4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）转动过程中系统的重力势能最大时，动能最小．要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，系统应转过动能最小处．如图（3）所示．
取OA杆的初始位置为零势能参考点，则如图（3）所示处系统的重力势能威者EP=2mg?2Lcosθ+3mg?Lsinθ
此式可化简为EP=mgL（4cosθ+3sinθ）≤5mgL
系统的重力势能最大值EP=5mgL
系统位于初始位置的重力势能EP0=-3mg?L
由功能观点有：W=△EP增
则得W=EP-EP0=8mgL
至少要对该系统做功W=8mgL
答：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v是
|
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）要使直角尺能绕转轴O顺时针方向转动，需要对该系统做功．则至少要对该系统做8mgL的功．
点评：本题是系统的机械能守恒问题，要抓住两球的角速度相等，分析线速度关系，难度较大．
练习册系列答案
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