Question

9．如图1所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在相互作用的引力作用下都绕O点做勻速圆周运动，运动的周期均为T₁；如果是星球A围绕星球B做勻速圆周运动且保持星球A与B间的距离不变，如图2所示，运动的周期为T₂，则T₁与T₂之比为（　　）

• A． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$
• B． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$
• C． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{m}}$
• D． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{m}{M+m}}$

Answer 1

分析 图1是双星问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律列式求解周期；图2中万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解周期即可．

解答 解：对于图1，设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，两个星球间距为L，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T₁．
根据万有引力定律有：
F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$  ①
由匀速圆周运动的规律得：
F=m（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²r ②
F=M（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R ③
由题意有：L=R+r ④
联立①②③④式得：
T₁=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（M+m）}}$
对于图2，万有引力等于向心力，故：
$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}L$
解得：
${T}_{2}=2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
故$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$
故选：B．

点评 本题关键是建立天体的运动模型；对于双星问题，关键我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期；当M＞＞m时，题中两个模型是等价的．