Question

4．若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球视为双星系统，它们都围绕月地连线上某点做匀速圆周运动，据此观点，月球运行周期记为T₁．但在近似处理问题时，常常认为月球绕地心做圆周运动，运行周期记为T₂．已知月球与地球质量之比约为1：80，那么T₂与T₁两者平方之比为（　　）

• A． 81：80
• B． 80：81
• C． 9：1
• D． 1：9

Answer 1

分析 对于模型1，是双星问题，地球和月球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律列式求解周期；对于模型2，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解周期即可．

解答 解：对于模型1，是双星问题，设两个星球月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，两个星球间距为L，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T₁．
根据万有引力定律有：
F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$…①
由匀速圆周运动的规律得：
F=m（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²r…②
F=M（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R…③
由题意有：L=R+r…④
联立①②③④式得：
T₁=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（M+m）}}$
对模型2，万有引力等于向心力，故：
$G\frac{Mm}{{L}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}L$
解得：
${T}_{2}=2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
故$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{M+m}{M}=\frac{80+1}{80}=\frac{81}{80}$
故选：A．

点评 本题关键是建立天体的运动模型；对于双星问题，关键我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期；当M＞＞m时，题中两个模型是等价的．