Question

18．如图，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第二，三，四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三，四象限磁感应强度大小相等，一带正电的粒子，从P（-d，0）点沿与x轴正方向成α=60°角平行xOy平面入射，经第二象限后恰好由y轴上的Q点（图中未画出）垂直y轴进入第一象限，之后经第四，三象限重新回到P点，回到P点时速度方向与入射时相同，不计粒子重力，求：
（1）粒子从P点入射时的速度v₀；
（2）第三，四象限磁感应强度的大小B′．

Answer 1

分析 （1）粒子从P点射入磁场中做匀速圆周运动，根据题意可知粒子在第二象限中运动时速度偏向角为30°，则轨迹对应的圆心角为30°，画出粒子运动的轨迹，根据几何知识求出轨迹半径，由洛伦兹力等于向心力，求解速度v₀．
（2）粒子进入电场中做类平抛运动，根据粒子经第四、三象限重新回到P点，回到P点时速度方向与入射时相同，可知粒子进入第四象限时速度与x轴正方向的夹角为α，根据类平抛运动的规律求出粒子在电场中运动时的水平位移，从而粒子在第三、四象限运动的轨迹半径，即可求解B′．

解答 解：（1）粒子从P点射入磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹如图，设粒子在第二象限圆周运动的半径为r，由几何知识得：
  r=$\frac{d}{sinα}$=$\frac{d}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
根据qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 v₀=$\frac{2\sqrt{3}qBd}{3m}$
粒子在第一象限中做类平抛运动，则有
  r（1-cos60°）=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
  tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{qE}{m}t}{{v}_{0}}$
联立解得 v₀=$\frac{E}{3B}$
（2）设粒子在第一象限类平抛运动的水平位移和竖直位移分别为x和y，根据粒子在第三、四象限圆周运动的对称性可知粒子刚进入第四象限时速度与x轴正方向的夹角等于α．
则有：x=v₀t，y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
得 $\frac{y}{x}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{tanα}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由几何知识可得 y=r-rcosα=$\frac{r}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}d$
则得 x=$\frac{2}{3}d$
所以粒子在第三、四象限圆周运动的半径为 R=$\frac{\frac{1}{2}（d+\frac{2}{3}d）}{sinα}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$d
粒子进入第三、四象限运动的速度 v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=2v₀=$\frac{4\sqrt{3}qBd}{3m}$
根据qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：B′=$\frac{12}{5}$B
答：
（1）粒子从P点入射时的速度v₀为$\frac{E}{3B}$．
（2）第三，四象限磁感应强度的大小B′为$\frac{12}{5}$B．

点评 解决本题的关键掌握处理类平抛运动的方法，以及粒子在磁场中运动，会确定圆心、半径和圆心角，这是解决粒子在复合场中运动的关键．