Question

19．如图所示，六根完全一样的电阻丝，电阻值均为R，依次连接构成一个正六边形，连接处接触良好并形成六个接线柱．任意两个接线柱之间都可以构成一个电阻．现在给你一个电阻值忽略不计的导线，要求你每次将其中的任意两个接线柱短接，在各种情况下，利用上述方法能得到的所有电阻中，最大值和最小值分别是（不包括零电阻）（　　）

• A． $\frac{5}{3}$R，$\frac{1}{3}$R
• B． $\frac{3}{2}$R，$\frac{5}{6}$R
• C． $\frac{3}{2}$R，$\frac{1}{2}$R
• D． $\frac{6}{5}$R，$\frac{1}{2}$R

Answer 1

分析 注意任意两个接线柱之间构成一个电阻，都是把整个电阻装置分为左右两边．如果A接线柱为准，连接的方法中AB与AF的构成电阻值相同；同理：AC与AE的构成电阻值相同；AD为两条支路都相同的并联电路，用并联电路的电阻特点分别求出阻值即可．

解答 解：①每一个电阻丝为R，如果A接线柱为准，连接的方法中AF与AB的构成电阻值相同；等效电路如图1所示

其总电阻为：$\frac{5R×R}{5R+R}$=$\frac{5}{6}$R．
这时，若再将一个电阻值忽略不计的导线将其中的任意两个接线柱短接的情况中，电阻个数最多的支路上，短路后电阻最小的是只有一个R连接在电路中（不包括零电阻），其总电阻最小，如图2：

其总电阻为：$\frac{1}{2}$R．
电阻个数最多的支路上，短路后电阻最大时是有4个R连接在电路中，其总电阻最大，如图3：

其总电阻为：$\frac{4R×R}{4R+R}$=$\frac{4}{5}$R．
②连接的方法中AC与AE的构成电阻值相同；等效电路如图4所示：

其总电阻为：$\frac{4R×2R}{4R+2R}$=$\frac{4}{3}$R．
这时，若再将一个电阻值忽略不计的导线将其中的任意两个接线柱短接的情况中，电阻个数最多的支路上，短路后电阻最小的是只有一个R连接在电路中（不包括零电阻），如图5：

其总电阻为：$\frac{R×2R}{R+2R}$=$\frac{2}{3}$R．
电阻个数最多的支路上，短路后电阻最大时是有3个R连接在电路中，如图6：

其总电阻为：$\frac{3R×2R}{3R+2R}$=$\frac{6}{5}$R．
若将一个电阻值忽略不计的导线在两条支路之间的任意两个接线柱短接的情况中，则情况如图7：

其总电阻分别为：$\frac{1}{2}$R+$\frac{R×3R}{R+3R}$=$\frac{5}{4}$R、$\frac{R×2R}{R+2R}$+$\frac{R×2R}{R+2R}$=$\frac{4}{3}$R．
③连接的方法中AD时；等效电路如图8所示

其总电阻为：$\frac{3R×3R}{3R+3R}$=$\frac{3}{2}$R．
这时，若再将一个电阻值忽略不计的导线将其中的任意两个接线柱短接的情况中，一条支路上被导线短路后电阻最小的是只有一个R连接在电路中（不包括零电阻），如图9：

其总电阻为：$\frac{R×3R}{R+3R}$=$\frac{3}{4}$R；
一条支路上被导线短路后短路后电阻最大时是有2个R连接在电路中，其总电阻最大，如图10：

其总电阻为：$\frac{2R×3R}{2R+3R}$=$\frac{6}{5}$R．
若将一个电阻值忽略不计的导线在两条支路之间的任意两个接线柱短接的情况中，则情况如图11：

其总电阻分别为：$\frac{1}{2}$R+$\frac{1}{2}$×2R=$\frac{3}{2}$R、$\frac{R×2R}{R+2R}$+$\frac{R×2R}{R+2R}$=$\frac{4}{3}$R．
由上分析可知：最大值为$\frac{3}{2}$R和最小值为$\frac{1}{2}$R．
故选：C．

点评 本题的关键点是分析电阻的连接方式有几种，然后画出等效电路，最后根据串并联电路电阻的特点进行计算