Question

14．一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v₀水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x，通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）月球的质量M；
（3）在月球表面发射卫星的第一宇宙速度υ₁．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的水平位移和初速度求出平抛运动的时间，结合竖直方向上的高度，运用位移时间公式求出月球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出月球的质量．
（3）根据万有引力提供向心力求出环绕月球表面做圆周运动的速率，即在月球表面发射卫星的第一宇宙速度；

解答 解：（1）根据平抛运动的规律，有
竖直方向：$h=\frac{1}{2}{g}_{月}^{\;}{t}_{\;}^{2}$①
水平方向：$x={v}_{0}^{\;}t$②
解得：${g}_{月}^{\;}=\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面物体重力等于万有引力
$mg=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{月}^{\;}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{G{x}_{\;}^{2}}$
（3）根据万有引力提供向心力，得$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{x}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度${g}_{月}^{\;}$为$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的质量M为$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{G{x}_{\;}^{2}}$；
（3）在月球表面发射卫星的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$为$\frac{{v}_{0}^{\;}}{x}\sqrt{2hR}$

点评 本题考查了万有引力定律与平抛运动的综合，掌握万有引力定律的两个重要理论是解题的关键，1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力．