题目内容
7．
将一质量为m的可视为质点的小球用一长为l的细绳拴接，细绳的另一端固定在天花板上的O点，在O点右下方的A位置钉一光滑的钉子，已知AO两点的高度差为$\frac{l}{2}$．现将小球从图示位置无初速度释放，此位置与O点等高且此时细绳刚好绷紧，当细绳与A点的钉子相碰后，小球将在竖直面内绕钉子做圆周运动．不计细绳与钉子碰撞时的机械能损失．（1）如果A点到过O点竖直线的距离为$\frac{\sqrt{5}}{4}$l时，小球刚好运动到最低点时细绳断裂，则细绳能承受的最大拉力与重力的比值是多少？
（2）为保证细绳在不断裂的情况下，小球能在竖直面内做完整的圆周运动，则A点到O点竖直线的距离范围是多少？
分析 （1）根据几何知识求出小球绕钉子做圆周运动的半径，由机械能守恒定律求出小球运动到最低点时的速度，再由牛顿第二定律和向心力公式求解细绳能承受的最大拉力与重力的比值．
（2）小球恰好做完整的圆周运动时，在圆周的最高点由重力提供向心力，由此列式，结合机械能守恒定律求出A点到O点竖直线的距离最大值．当细绳刚要断裂时，在最低点拉力达到最大值，由牛顿第二定律和机械能守恒定律求出A点到O点竖直线的距离最小值，从而得到A点到O点竖直线的距离范围．
解答 解：（1）设小球绕钉子做圆周运动的半径为r．根据几何知识得：
r=l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{4}l）^{2}}$=$\frac{1}{4}$l
小球从开始到运动到最低点的过程，由机械能守恒定律得：
mg（r+$\frac{l}{2}$）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低点，由牛顿第二定律得：
Tm-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得：细绳能承受的最大拉力与重力之比 $\frac{{T}_{m}}{mg}$=7
（2）设小球恰好做完整的圆周运动时，A点到O点竖直线的距离为s1．在圆周的最高点由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l-\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{1}^{2}}}$
从开始到圆周的最高点，由机械能守恒定律得：
mg{$\frac{l}{2}$-[l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{1}^{2}}$]}=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立解得：s1=$\frac{\sqrt{7}}{6}$l
设小球在最低点细绳刚要断裂时，A点到O点竖直线的距离为s2．在最低点，由牛顿第二定律得：
Tm-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{l-\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{2}^{2}}}$
从开始到圆周的最低点，由机械能守恒定律得：
mg{$\frac{l}{2}$+[l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{2}^{2}}$]}=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立解得：s2=$\frac{\sqrt{5}}{4}$l
所以A点到O点竖直线的距离范围是：$\frac{\sqrt{7}}{6}$l≤s＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$l
答：（1）细绳能承受的最大拉力与重力的比值是7．
（2）A点到O点竖直线的距离范围是 $\frac{\sqrt{7}}{6}$l≤s＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$l．
点评 对于圆周运动动力学问题，关键是分析受力情况，寻找向心力的来源，找出隐含的临界条件．
| A． | 电梯匀减速上升，加速度的大小为1.0 m/s2 | |
| B． | 电梯匀加速上升，加速度的大小为1.0 m/s2 | |
| C． | 电梯匀减速下降，加速度的大小为0.5 m/s2 | |
| D． | 电梯匀加速下降，加速度的大小为0.5 m/s2 |
| A． | 指南针可以仅具有一个磁极 | |
| B． | 指南针能够指向南北，说明地球具有磁场 | |
| C． | 指南针的指向不会受到附近铁块的干扰 | |
| D． | 在指南针正上方附近沿指针方向放置一直导线，导线通电时指南针会偏转 |
如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环上任意一点，D是圆环轨道的圆心．已知在同一时刻：a、b、c三球分别由A、B、C点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；d球由D点自由下落到M点．则运动到M点的时间大小关系是：（ ）| A． | tD＜tA＜tC＜tB | |
| B． | tD＜tA=tC＜tB | |
| C． | tD=tA=tC＜tB | |
| D． | 由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系 |
如图所示，内部光滑的平底试管的底部有一个质量为m的小球，现使试管绕转轴O在竖直平面内做圆周运动，运动中小球始终与试管底部接触．当试管以某一恒定的角速度ω转动时，小球在最高点受到的弹力为mg，设小球在最低点受到弹力为F、转动中转轴到小球圆心的距离为r，则（ ）| A． | ω=$\sqrt{\frac{2g}{r}}$，F=3mg | B． | ω=$\sqrt{\frac{2g}{r}}$，F=2mg | C． | ω=$\sqrt{\frac{g}{r}}$，F=3mg | D． | ω=$\sqrt{\frac{g}{r}}$，F=2mg |
如图所示，质量为m的木块从半径为R的固定半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，由于摩擦力的作用使得木块做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）| A． | 木块下滑过程中的加速度不变 | |
| B． | 木块下滑过程中受到的合力大小不变 | |
| C． | 木块下滑过程中受到的摩擦力大小不变 | |
| D． | 木块下滑过程中受到的支持力大小不变 |
| A． | 在纯电阻电路中，计算电功可用公式W=I2Rt | |
| B． | 在非纯电阻电路中，计算电热可用公式Q=IUt | |
| C． | 在非纯电阻电路中，计算电热可用公式Q=I2Rt | |
| D． | 在纯电阻电路中，计算电热可用公式W=IUt |
