Question

10．如图所示，AB为一长L的粗糙水平轨道，质量m=1kg的小球从A点以初速度v₀=21m/s开始做匀减速直线运动，然后冲上竖直平面内半径为R=2.5m的粗糙半圆形轨道，在半圆轨道最低点B安装了一个压力传感器，小球经过B点时，传感器显示压力为170N且恰好能到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，试求：
（1）AB间距离L多大？
（2）小球与水平轨道间的动摩擦因数？
（3）在BC段，小球克服摩擦力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）小球在C处，恰能做圆周运动，由重力充当向心力，可由向心力公式求得小球在C点的速度v_C．再由平抛运动的规律求AB间距离L．
（2）在B点，由向心力公式求出B点的速度．对于AB段，根据动能定理求小球与水平轨道间的动摩擦因数．
（3）对于小球由B运动到C的过程，运用动能定理列式，求解小球克服摩擦力做功．

解答 解：（1）设小球在C点的速度为v_C．在C点，由重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{5}$m/s
小球由C点开始做平抛运动，设经过时间t到达A点，则有：
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向：L=v_Ct
联立以上三式解得：L=2R=5m
（2）在B点，由向心力公式得
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
据题得 F_N=170N
解得 v_B=20m/s
对于AB段，根据动能定理得
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 μ=0.41
（3）由B到C，由动能定理得：
-mg•2R-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得，小球克服摩擦力做功为  W_f=147.5J
答：
（1）AB间距离L是5m．
（2）小球与水平轨道间的动摩擦因数是0.41．
（3）在BC段，小球克服摩擦力做了147.5J的功．

点评 本题综合运用了动能定理、向心力公式、平抛运动规律，关键理清过程，明确圆周运动的临界条件，运用分解法研究平抛运动．