题目内容

1．如图所示，离地面某高处有一两端开口圆管竖直放置，质量M=2kg，管长L=3m，一个质量m=1kg的小球从圆管顶端静止释放，先保持圆管静止不动，小球在管内下落高度h=1m时获得的速度为v=4m/s，从此刻开始，对管施加一个竖直向下、大小为F=10N的恒定拉力，使管开始向下运动，已知小球在管内运动过程圆管一直在空中运动，小球在管内所受的滑动摩擦力大小处处相等，不计空气阻力，取g=10m/s2，求：
（1）小球在管内所受的滑动摩擦力大小；
（2）管与小球的速度相等时管的速度大小；
（3）小球从释放到最终脱离圆管经历的总时间．

分析 （1）对球应用速度位移公式和牛顿第二定律结合得出．
（2）先求出管的加速度，然后利用速度时间公式求出求出时间，最后求出速度．
（3）先求管静止时球的运动时间，再通过分析两者的受力找出两者发生相对运动的情况，找出又经历的时间，再求和．

解答 解：（1）管保持静止过程中，球受重力和竖直向上的滑动摩擦力，设球的加速度为a1，所受摩擦力大小为f，由速度位移公式可得：v2=2a1h   ①，又由牛顿第二定律可知：F-f=ma1   ②，代入数据①②联立可得：f=2N．
（2）小球的速度与管的速度相等之前，始终相对管向下运动，管受力受重力和恒力F以及球对杆向下的摩擦力f，设管的加速度为a2，由牛顿第二定得：F+Mg+f=Ma2   ③
设经t2时间达到共速，即a2t2=v+a1t2   ④，联立③④，解得t2=0.5s，所以管与小球的速度相等时管的速度大小为v′=a2t2=8m/s．
（3）管静止时，球的运动时间为t1，由速度时间公式可得v=a1t1   ⑤，
由（2）可知，又经t2达到共速，且t2=0.5s．
当管与小球的速度相等时，球在管中下降的高度为$h′=\frac{v+v′}{2}{t}_{2}-\frac{v′}{2}{t}_{2}$=1m，因为h+h′=2m＜L，所以球与管未脱离，此后小球相对管向上运动
对管：F+Mg-f=Ma3  ⑥，对球：mg+f=ma4  ⑦，设t3时间小球从圆管中脱离，即$h+h′=\frac{1}{2}{{a}_{3}t}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{{a}_{4}t}_{3}^{2}$  ⑧，由⑥⑦⑧解得：t3=1.4s
所以球在管中的总时间为t=t1+t2+t3=2.4s
答：（1）小球在管内所受的滑动摩擦力为2N．
（2）管与小球的速度相等时管的速度大小为8m/s．
（3）小球从释放到最终脱离圆管经历的总时间为2.4s．

点评 此题的难点在于球与管的相对运动，分析受力时注意滑动摩擦力与相对运动方向相反，学生们较易出错，应多加练习．

练习册系列答案
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