Question

17．某天体可视为质量均匀分布的球体，自转周期为T，“北极点”处的重力加速度是“赤道”处重力加速度的k倍（k＞1）．若该天体有一颗近地环绕卫星，则近地环绕卫星的周期为（　　）

• A． $\sqrt{k-1}$•T
• B． $\sqrt{\frac{1}{k-1}}$•T
• C． $\sqrt{\frac{k}{k-1}}$•T
• D． $\sqrt{\frac{k-1}{k}}$•T

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．根据万有引力定律和牛顿第二定律，在赤道的物体所受地球的引力可分解为重力和随地自转的向心力，对该天体的近地卫星，根据万有引力提供向心力，联立即可求出近地环绕卫星的周期．

解答 解：质量为m的物体在两极处，万有引力等于重力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{极}^{\;}$①
质量为m的物体在赤道上，万有引力可分解为重力和随地自转的向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{赤}^{\;}+m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$②
根据题意知，$\frac{{g}_{极}^{\;}}{{g}_{赤}^{\;}}=k$③
联立①②③得：$GM=\frac{k}{k-1}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{\;}^{3}$④
设该天体的近地卫星的质量为m′，根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{T{′}_{\;}^{2}}R$⑤
解得：T'=$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$⑥
将④代入⑥得：T'=$\sqrt{\frac{k-1}{k}}•T$，故D正确，ABC错误；
故选：D

点评 解决本题的关键是认识到在赤道处的重力实为地球对物体的万有引力减去物体随地球自转的向心力，掌握力的关系是正确解题的前提．