Question

10．如图所示．一个半径为R的$\frac{1}{4}$透明球体放置在水平面上，一束平行单色光沿水平方向垂直射向球体的AB面上，这些光线中有一部分不能从柱体的曲面AC上射出，已知该球体对平行单色光的折射率为$\sqrt{2}$，不考虑各个面上的反射，则：求：
①圆柱曲面上能射出光线的部分占AC表面的几分之几？
②经曲面射出的光最后射到水平面上，求光束在直线BC上射不到的区域范围．

Answer 1

分析 ①射到圆柱曲面AC上的光线，当入射角增大到等于临界角时光线将发生全反射，不再有折射光射出．由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，再由几何知识求解．
②根据几何关系求光束在直线BC上射不到的区域范围．

解答 解：①设全反射临界角为C，则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
得 C=45°
当射到AC面上的光线入射角等于C时恰好发生全反射，将不能射出AC面．
在AD之间入射角大于临界角，光线都发生全反射，所以圆柱曲面上能射出光线的部分为DC部分，由几何知识知圆柱曲面上能射出光线的部分占AC表面的$\frac{1}{2}$．
②设光线射出AC面射BC线上离C点最近的点为E，如图，光线DE折射角为90°，E点右侧无光线射到．
由几何知识可得 CE=BE-BC=$\sqrt{2}$R-R=（$\sqrt{2}$-1）R
所以光束在直线BO上射不到的区域范围为离C点距离为（$\sqrt{2}$-1）R的E点右侧．
答：
①圆柱曲面上能射出光线的部分占AC表面的$\frac{1}{2}$．
②光束在直线BO上射不到的区域范围为离C点距离为（$\sqrt{2}$-1）R的E点右侧．

点评 本题的关键要理解并掌握全反射条件和临界角公式，结合几何知识，即可研究这类问题．