Question

4．如图所示，两个相距为L，电阻不计的平行光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上，在长度为4L的矩形区域MNFE内有方向垂直于斜面、磁感应强度的大小为B匀强磁场；在长度也为4L的矩形区域CDEF内有方向垂直于斜面向下，磁感应强度为B₁随时间t变化的磁场，其磁场的最小值也为B．现将一根质量为m、电阻为R₀、长度为L的金属棒横放在区域间的两导轨上并用外力使其静止．在开始计时时刻，让另一根长度也为L、电阻为r₀的金属棒ab从CD边的上方某处的导轨上由静止开始下滑，同时也释放金属棒cd，两根金属棒均与导轨接触良好，ab棒从开始运动到到达EF的过程中，金属棒始终处于静止状态，重力加速度为g．求：
（1）感应电动势；
（2）ab棒从静止开始运动到CD边的时间；
（3）区域MNFE内的磁场方向及区域CDEF内的磁场的感应强度的最大值．

Answer 1

分析 （1）以cd棒为研究对象，根据受力平衡求解感应电流，根据闭合电路的欧姆定律求解感应电动势；
（2）根据E=BLv求解速度大小，再根据牛顿第二定律求解加速度大小，根据运动学计算公式求解时间；
（3）根据左手定则判断区域MNFE内的磁场方向；根据法拉第电磁感应定律求解CDEF内的磁场的感应强度的最大值．

解答 解：（1）根据楞次定律可得，在B1减小的过程中，回路中的电流方向为abdca，
以cd棒为研究对象，受力平衡时有：mgsinθ=BIL，
解得：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$；
根据闭合电路的欧姆定律可得感应电动势为：
E=I（R₀+r₀）=$\frac{mgsinθ}{BL}$（R₀+r₀）；
（2）设ab进入磁场时的速度为v，则有：E=BLv，
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}（{R}_{0}+{r}_{0}）$；
ab在斜面上运动的加速度为：a=gsinθ=$\frac{v}{t}$，
解得ab棒从静止开始运动到CD边的时间为：t=$\frac{v}{a}$=$\frac{m}{{B}^{2}{L}^{2}}（{R}_{0}+{r}_{0}）$；
（3）根据左手定则可得区域MNFE内的磁场方向垂直斜面向上；根据法拉第电磁感应定律可得：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{{B}_{m}-B}{t}•4{L}^{2}$，
解得：B_m=$\frac{{m}^{2}gsinθ（{R}_{0}+{r}_{0}）^{2}}{4{B}^{3}{L}^{5}}+B$．
答：（1）感应电动势为$\frac{mgsinθ}{BL}$（R₀+r₀）；
（2）ab棒从静止开始运动到CD边的时间为$\frac{m}{{B}^{2}{L}^{2}}（{R}_{0}+{r}_{0}）$；
（3）区域MNFE内的磁场方向垂直斜面向上，区域CDEF内的磁场的感应强度的最大值为$\frac{{m}^{2}gsinθ{（{R}_{0}+{r}_{0}）}^{2}}{4{B}^{3}{L}^{5}}+B$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．