Question

16．光滑水平面上固定一光滑水平轨道，水平轨道与$\frac{5}{8}$圆弧轨道平滑连接，圆弧半径为R，P点为其连接点，如图所示（俯视图）．在P点静止放有两小球A、B，其质量分别m₁、m₂（m₁、m₂大小未知），两小球间夹有少量炸药，点燃炸药后，小球A进人圆弧轨道运动，小球B在水平轨道运动，一段时间后，A、B球再次相遇．两小球都可以看成质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个小球的速度方向在同一水平直线上，（$\sqrt{2}$≈1.4，π=3.1，保留两位有效数字）关于此过程．估算：
（1）A、B两球相遇时运动速度大小的比值；
（2）爆炸后，A、B球获得的机械能大小的比值：

Answer 1

分析 （1）明确二者运动的轨迹，然后由几何关系找出轨迹的长度关系，由速度位移的关系即可求出它们速度的关系；
（2）根据动量守恒定律以及功能关系即可求出．

解答 解：（1）小球A开始时做匀速圆周运动，离开圆轨道后做匀速直线运动，其运动的轨迹如图：

由几何关系可知：$\overline{BP}=R•sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$≈0.7R；$\overline{PM}=R+R•cos45°=（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R≈1.7R$；$\overline{PN}=\overline{PM}=1.7R$；$\overline{MN}=\frac{\overline{PM}}{sin45°}=\frac{1.7R}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2.43R$
小球A运动的轨迹的长度：${s}_{A}=2πR×\frac{5}{8}+\overline{MN}$≈$2×3.1×R×\frac{5}{8}+2.43R≈6.3R$
小球B运动轨迹的长度：s_B=$\overline{BN}=\overline{BP}+\overline{PN}=0.7R+1.7R=2.4R$
由于二者分离后速度的大小都不变，设运动的时间为t，则：s_A=v_A•t，s_B=v_B•t
联立可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{s}_{A}}{{s}_{B}}=\frac{63}{24}$
（2）在爆炸的过程中A与B沿水平方向的动量守恒，选取A运动的方向为正方向，则：m_Av_A-m_Bv_B=0
所以：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}=\frac{{v}_{B}}{{v}_{A}}=\frac{24}{39}$
爆炸后，A、B球获得的机械能大小等于它们的动能的大小，所以爆炸后，A、B球获得的机械能大小的比值：
$\frac{{E}_{A}}{{E}_{B}}=\frac{\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}}{\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}}=\frac{24}{63}×（\frac{63}{24}）^{2}=\frac{63}{24}$
答：（1）A、B两球相遇时运动速度大小的比值是$\frac{63}{24}$；
（2）爆炸后，A、B球获得的机械能大小的比值是$\frac{63}{24}$：

点评 该图中小球始终在水平面内做匀速圆周运动，所以它们速度的比值就等于它们路程的比值，由此可知解答的关键就是能正确求出A运动的轨迹的长度．