Question

10．如图所示，固定光滑的平行金属导轨CD与EF间距为L=1m，与水平地面夹角为θ，且sinθ=0.4，导轨C、E两端用电阻R=0.8Ω的导线连接，导轨的电阻不计，导轨处在磁感应强度为B=0.1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，一根电阻为r=0.2Ω的金属棒MN两端通过导电小轮搁在两导轨上，棒上有吸水装置P．取沿导轨向下为x轴正方向，坐标原点O在CE中点．开始时棒处在x=0位置（即与CE重合），棒的起始质量不计．设棒自静止起下滑，质量逐渐增大，设棒质量的增大与位移x的平方根成正比，即m=k$\sqrt{x}$，k为常数，其值满足k²=10^-4kg²/m，g=10m/s²
（1）金属棒下滑3m位移过程中，流过棒的电荷量是多少？
（2）猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动，并加以证明．
（3）金属棒下滑1m位移时，导线CE两端的电压多大？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出电路中产生的平均感应电流大小，即可求得流过棒的电荷量；
（2）通过分析受力情况，来分析金属棒的运动情况：棒从静止开始运动，首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大，如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动． 假设棒做的是匀加速运动，根据牛顿第二定律求出加速度的表达式，根据加速度，分析假设是否正确．
（3）根据第2问分析得知，棒做匀加速运动，将x=1m代入加速度的表达式，求出加速度，由运动学公式求解速度，再根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律求解．

解答 解：（1）金属棒下滑1 m过程中，流过棒的电量：q=$\overline{I}△t$，
根据闭合电路的欧姆定律可得：$\overline{I}=\frac{E}{R+r}$
根据法拉第电磁感应定律可得：$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$，
联立解得：q=$\frac{△∅}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$=0.3C；
（2）由于棒从静止开始运动，因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化，如图所示，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大，如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动．
假设棒做的是匀加速运动，且设下滑位移x时的加速度为a，根据牛顿第二定律，有mgsinθ-F=ma
而安培力；F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
假设棒做匀加速直线运动，则瞬时速度v=$\sqrt{2ax}$，由于m=k$\sqrt{x}$，
代入后得：$k\sqrt{x}gsinθ$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ax}}{R+r}$=$k\sqrt{x}a$，
解得：a=kgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2a}}{R+r}$
从上述方程可以看出a的解是一个定值，与位移x无关，这表明前面的假设成立，棒的运动确实是匀加速直线运动．
（3）为了求棒下滑1 m时的电压，应先求出棒的加速度．
根据a=kgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2a}}{R+r}$可得a=2m/s²，
下滑1m时的速度为v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×2×1}$m/s=2m/s，
金属棒切割磁感应线向上的感应电动势E=BLv=0.2V
根据闭合电路的欧姆定律可得导线CE两端的电压U=$\frac{E}{R+r}•R$=0.16V．
答：（1）金属棒下滑3m位移过程中，流过棒的电荷量为0.3C；
（2）猜测金属棒下滑过程中做的是匀加速直线运动运动，证明见解析；
（3）金属棒下滑1m位移时，导线CE两端的电压为0.16V．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．
本题中运用感应电荷量公式求解电量．通过先猜测，再进行证明，确定导体棒的运动情况，体现了科学研究常用的思路．