Question

15．如图所示，在匀强磁场中有一足够长的光滑平行金属导轨，与水平面间的夹角θ=30°，间距L=0.5m，上端接有阻值R=0.3Ω的电阻，匀强磁场的磁感应强度大小B=0.4T，磁场方向垂直导轨平面向上．一质量m=0.2kg，电阻r=0.1Ω的导体棒MN在平行于导轨的外力F作用下，由静止开始向上做匀加速运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直，且接触良好，当棒的位移d=9m时电阻R上消耗的功率为P=2.7W．其他电阻不计，g取10m/s²．求：
（1）此时通过电阻R上的电流；
（2）这一过程通过电阻R上电荷量q；
（3）此时作用于导体棒上的外力F的大小；
（4）此时撤去F，棒能上升的最大距离为s=2m，则撤去F后电阻R上产生的热量多大？

Answer 1

分析 （1）根据P=I²R求解电阻R上的电流；
（2）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律推导电荷量的计算公式，即q=$\frac{△∅}{{R}_{总}}$，由此求解
（3）由（1）中电流求出此时的速度，再根据匀变速运动：v²=2ax，求出加速度，结合牛顿第二定律求解外力F；
（4）根据能量守恒定律和焦耳定律进行解答．

解答 解：（1）根据热功率：P=I²R  
解得：I=$\sqrt{\frac{P}{R}}$=$\sqrt{\frac{2.7}{0.3}}$A=3A；
（2）回路中产生的平均感应电动势：$\overline{E}=n\frac{△∅}{△t}$
由欧姆定律得：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
得电流和电量之间关系式：q=$\overline{I}•△t$=n$\frac{△∅}{R+r}$
代入数据得：q=$\frac{BLd}{R+r}$=4.5C；
（3）此时感应电流I=3A，由I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
解得此时速度：v=$\frac{I（R+r）}{BL}$=6m/s
由匀变速运动公式：v²=2ax，
解得：a=$\frac{{v}^{2}}{2d}$=2m/s²
对导体棒由牛顿第二定律得：F-F_安-mgsin30°=ma 
即：F-BIL-mgsin30°=ma
解得：F=ma+BIL+mgsin30°=2 N 
（4）对导体棒由能量守恒得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgs•sin30°+Q$   
代入数据得 Q=1.6J 
此为回路中产生的总热量，电阻R上产生的热量Q_R=$\frac{3}{4}$Q=1.2J．
答：（1）通过电阻R上的电流3A；
（2）通过电阻R上电电荷量q为4.5C；
（3）导体棒上的外力F的大小为2N；
（4）撤去F后电阻R上产生的热量为1.2J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．