Question

6．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上．已知引力常数为G，关于四星系统，下列说法正确的是（　　）

• A． 四颗星的向心加速度的大小均为$\frac{2\sqrt{2}Gm}{{L}^{2}}$
• B． 四颗星运行的线速度大小均为$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{L}}$
• C． 四颗星运行的角速度大小均为$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{（1+2\sqrt{2}）Gm}{L}}$
• D． 四颗星运行的周期均为2πL$\sqrt{\frac{2L}{（1+2\sqrt{2}）Gm}}$

Answer 1

分析 在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据合力提供向心力列等式，求出星体匀速圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期．

解答 解：星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径为r=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}L）_{\;}^{2}}+\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}cos45°=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{（\frac{\sqrt{2}L}{2}）}$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}•\frac{\sqrt{2}}{2}L$=$m{ω}_{\;}^{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}L$=ma
解得：$a=G\frac{m}{{L}_{\;}^{2}}\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$；$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{L}}$；$ω=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{（2+\sqrt{2}）Gm}{L}}$；$T=2πL\sqrt{\frac{（2-\sqrt{2}）L}{2Gm}}$
故B正确，ACD错误；
故选：B

点评 解决本题的关键知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．