Question

1．如图所示，ABC为一光滑细圆管构成的$\frac{3}{4}$圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C．在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求释放点距A点的高度
（2）若释放点距A点竖直高度为2R，求小球经过最低点B时轨道对小球的支持力大小
（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球在C点对圆管的作用力．

Answer 1

分析 （1）小球刚好能到达轨道的最高点C，则小球通过C点的速度为零，由机械能守恒列式求解；
（2）在B点对小球受力分析，由牛顿第二定律和动能定理列式联立求解；
（3）小球从C点飞出做平抛运动．根据平抛运动规律和牛顿第二定律求圆管对小球的作用力，再由牛顿第三定律小可知球对圆管的作用力．

解答 解：（1）小球刚好能到达轨道的最高点C，即小球到达C点的速度为0，以A点所在水平面为零势能面，
根据机械能守恒可得：mgh=mgR
解得：h=R．
（2）在B点对小球由牛顿第二定律可得：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
根据动能定理：$3mgR=\frac{1}{2}mv_B^2$
代入数据联立解得：F_N=7mg．
（3）小球从C点飞出做平抛运动．
水平方向上有：R=v_Ct
竖直方向上有：$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
由牛顿第二定律可得：$mg-{F_{NB}}=m\frac{v_C^2}{R}$
代入数据联立解得：${F_{NB}}=\frac{1}{2}mg$
根据牛顿第三定律，小球对圆管的作用力大小为$\frac{1}{2}mg$，方向竖直向下．
答：（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，释放点距A点的高度为R；
（2）若释放点距A点竖直高度为2R，小球经过最低点B时轨道对小球的支持力大小为7mg；
（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，小球在C点对圆管的作用力大小为$\frac{1}{2}mg$，方向竖直向下．

点评 本题为动能定理与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．