Question

11．圆周运动的周期性问题如图所示，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉AB，相距l₀=0.12m，长l=1m的柔绳细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量是500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球2m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动，由于钉子B的存在，线慢慢地缠在A、B上．若细线能承受的最大张力是F_m=6.5N，求：
（1）当绳子第一次碰触铁钉B前后瞬间，绳子拉力大小的比值；
（2）小球经过几个半圆运动后绳子会被拉断；
（3）小球从初始位置到绳子拉断经历的总时间？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出绳子第一次碰触铁钉B前后瞬间拉力的表达式，从而得出拉力大小之比．
（2）根据最大拉力，结合牛顿第二定律求出绳子断开时做圆周运动的半径，从而结合绳子的原长求出经过几个半圆运动后绳子会被拉断．
（3）根据弧长和线速度求出每个半周的时间，结合半圆运动的次数求出运动的总时间．

解答 解：（1）碰触铁钉B前瞬间绕A做圆周运动，根据牛顿第二定律有：${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，
碰触铁钉B后瞬间绕B做圆周运动，根据牛顿第二定律有：${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-{l}_{0}}$，
解得$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{l-{l}_{0}}{l}=\frac{1-0.12}{1}=0.88$．
（2）当绳子被拉断时，有：${F}_{m}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得r=$\frac{m{v}^{2}}{{F}_{m}}=\frac{0.5×4}{6.5}m≈0.31m$，
n=$\frac{l-r}{{l}_{0}}=\frac{1-0.31}{0.12}=5.75$，可知经过6个半圆运动后绳子会被拉断．
（3）在第一个半周期内：${t}_{1}=\frac{πl}{v}$，
在第二个半周期内：${t}_{2}=\frac{π（l-{l}_{0}）}{v}$，
在第三个半周期内：${t}_{3}=\frac{π（l-2{l}_{0}）}{v}$，
…
则小球从初始位置到绳子拉断经历的总时间t=t₁+t₂+t₃+…+t₆=$\frac{π（6l-15{l}_{0}）}{v}$=$\frac{3.14×（6-15×0.12）}{2}$s=6.594s．
答：（1）当绳子第一次碰触铁钉B前后瞬间，绳子拉力大小的比值为0.88；
（2）小球经过6个半圆运动后绳子会被拉断；
（3）小球从初始位置到绳子拉断经历的总时间为6.594s．

点评 本题是物理数列类型，结合圆周运动向心力的来源，通过数学知识求出拉力和时间的通项表达式是解决本题的关键．