Question

2．为了迎接太空时代的到来，美国国会通过了一项计划，在2050年前建造太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上．已知地球表面的重力加速度g=10m/s²，地球半径R=6400km．求：
（1）某人在地球表面用弹簧测力计称得重800N，站在升降机中．当升降机以加速度a=g（g为地球表面处的重力加速度）垂直地面上升，这时此人再一次用同一弹簧测力计称得视重为880N，忽略地球公转的影响，求升降机此时距地面的高度；
（2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，绳的长度至少为多少米？（保留两位有效数字）

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出当时的重力加速度，根据万有引力等于重力，得出轨道半径，从而得出高度．
通过万有引力提供向心力，求出同步卫星的轨道半径，从而知道绳的长度．

解答 解：（1）由题意可知人的质量为：m=80kg
对人根据牛顿第二定律得：880-mg′=mg  
根据万有引力等于重力得：
mg′=$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：g′=${（\frac{R}{R+h}）}^{2}$g
即h=2.16R=1.38×10⁷m
（2）同步卫星围绕行星做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力列出等式：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
r=R+h′
T为地球自转周期，结合GM=gR²．
得：h′=3.6×10⁷m
答：（1）升降机此时距地面的高度是1.38×10⁷m；
（2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，绳的长度至少为3.6×10⁷m

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、万有引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解！