Question

14．如图所示，质量分别为M和m的物块与劲度系数为k的轻质弹簧两端相连，物块M放在地面上，用竖直向下的大小为F的恒力，压在物块m上，直到物块m运动至最低点时撤去恒力，此后物块m将向上运动．已知弹簧的弹性势能与形变量的关系为E_P=$\frac{1}{2}$kx²．
（1）求物块m在最低点时的加速度；
（2）请画出物块m下移过程中弹簧弹力与其位移关系的图象（要求标明初末状态的坐标）
（3）要使下面的物块M不脱离地面，F的大小不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）以m为研究的对象，对其进行受力分析，结合牛顿第二定律即可求出加速度；
（2）以m为研究的对象，对其进行受力分析，结合胡克定律，即可写出弹簧的弹力随位移变化的关系，最后作图；
（3）以整体为研究的对象，向求出M对地面的压力为0时，弹簧的长度，然后结合功能关系，即可求解．

解答 解：（1）用竖直向下的大小为F的恒力压在物块m上时，m受到重力、弹力和压力的作用处于平衡状态，所以弹簧的弹力：F₁=F+mg
撤去压力的瞬间，弹簧的弹力来不及变化，所以m的加速度：$a=\frac{{F}_{1}-mg}{m}=\frac{F+mg-mg}{m}=\frac{F}{m}$；
（2）若施加的压力为0时，则m受到重力和弹簧的弹力的作用，则：F₀=mg
随压力的增大，弹簧的弹力逐渐增大，F′=F+mg
由胡克定律：F₁=k△x
可知，当压力为0时，弹簧的压缩量：${x}_{0}=\frac{{F}_{0}}{k}=\frac{mg}{k}$
当压力是F时，F₁=F+mg
又弹簧的形变量△x与m的位移s关系为：△x=x₀+s
所以，物块m下移过程中弹簧弹力与其位移关系：F₁=k（x₀+s）=mg+ks
的图象如图．
（3）要使下面的物块M不脱离地面，m受到的压力是F，弹簧的压缩量：$△{x}_{1}=\frac{{F}_{1}}{k}=\frac{F+mg}{k}$
此时弹簧的弹性势能：${E}_{P1}=\frac{1}{2}k△{x}_{1}^{2}=\frac{1}{2}k×（\frac{F+mg}{k}）^{2}$=$\frac{（F+mg）^{2}}{2k}$
以M为研究的对象，当M刚刚要离开地面时，M受到弹簧的拉力和重力的作用，所以此时：F₂=Mg，则弹簧的伸长量：$△{x}_{2}=\frac{{F}_{2}}{k}=\frac{Mg}{k}$
则此时弹簧的弹性势能：${E}_{P2}=\frac{1}{2}k△{x}_{2}^{2}=\frac{1}{2}×k×\frac{{M}^{2}{g}^{2}}{{k}^{2}}=\frac{{M}^{2}{g}^{2}}{2k}$
m上升的过程中，重力势能的增加量：△E_P=mg（△x₁+△x₂）
弹簧上升的过程中，弹簧的弹性势能转化为m的重力势能，即：E_P1-E_P2=△E_P
联立以上方程解得：F=（M+m）g
答：（1）物块m在最低点时的加速度是$\frac{F}{m}$；（2）如图；（3）要使下面的物块M不脱离地面，F的大小不能超过（M+m）g．

点评 本题将含有弹簧的平衡问题与功能关系结合振子一起，关键是分析两个状态弹簧的状态和弹力，再由几何关系研究A上升距离与弹簧形变量的关系．