Question

3．如图所示，某物块（可看成质点）质量为m=0.1kg从A点沿竖直光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，由静止开始滑下，圆弧轨道的半径R=0.2m，末端B点与水平传送带相切，物块由B点滑上粗糙的传送带．传送带BC之间长度L=1.5m，若传送带静止，物块滑到传送带的末端C点后做平抛运动，落到水平地面上的D点，已知C点到地面的高度H=5m，C点到D点的水平距离为x₁=1m，g=10m/s²．求：
（1）物块滑到B点时对圆轨道末端的压力．
（2）物块滑到C点时速度的大小；
（3）若传送带以v₀=2.5m/s的速度沿顺时针方向运行，求物体与传送带间摩擦生热Q．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出物块到B点时的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力大小．
（2）物块离开C点后做平抛运动，根据平抛运动分位移的规律求解C点的速度．
（3）先根据速度位移关系公式分析物块与传送带共速时所用的时间，分别求出物块与传送带的位移，得到相对位移，从而求出热量．

解答 解：（1）从A点到B点，由动能定理可得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0，
v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
物体在B点：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：F=3N
由牛顿第三定律可得：物块对B点的压力 F′=F=3N；方向竖直向下
（2）物块离开C点后做平抛运动，则有：
  x₁=vt
 $H=\frac{1}{2}g{t^2}$
联立解得物块滑到C点时速度的大小 v=1m/s
（3）由动能定理得：$-μmgl=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_B}^2$，
解得 μ=0.1
若传送带以v₀=2.5m/s的速度沿顺时针方向运行，有：${V_c}^2-{V_B}^2=2al$
可得：${v_c}=\sqrt{7}m/s$大于2.5m/s
故物块到达C之前与传送带共速，匀加速运动的时间为：$t=\frac{{{v_0}-{v_B}}}{μg}=0.5s$
此过程传送带的位移：x=v₀t=1.25m
物体的位移为：x′=$\frac{{v}_{B}+{v}_{0}}{2}t$=$\frac{2+2.5}{2}×$0.5m=1.125m
物体与传送带间摩擦生热：Q=μmg（x-x′）=0.0125J
答：（1）物块滑到B点时对圆轨道末端的压力大小为3N；方向竖直向下．
（2）物块滑到C点时速度的大小是1m/s；
（3）若传送带以v₀=2.5m/s的速度沿顺时针方向运行，物体与传送带间摩擦生热Q是0.0125J．

点评 解决本题的关键知道物块在传送带上的运动规律，结合动能定理、牛顿第二定律、运动学公式进行求解．要注意摩擦生热应根据相对位移求．