Question

10．一半径为R的$\frac{1}{4}$球体放置在水平面上，球体由折射率为$\sqrt{3}$的透明材料制成．现有一束位于过球心O的竖直平面内的光线，平行于桌面射到球体表面上，折射入球体后再从竖直表面射出，如图所示．已知入射光线与桌面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光在真空中的传播速度为c，求：
（i）出射角θ；
（ii）光穿越球体的时间．

Answer 1

分析 （i）画出光路图，作出法线，由几何知识求出光线射到球体表面的入射角，由折射定律求出折射角．由几何知识确定出光线在竖直表面上的入射角，即可由折射定律求解出射角θ．
（ii）由v=$\frac{c}{n}$求出光线在球体中的传播速度，由几何关系求出光线在球体中的传播距离，再求解时间．

解答 解：（i）设入射光线与41球体的交点为C，连接OC，OC即为入射点的法线．因此，图中的角α为入射角．过C点作球体水平表面的垂线，垂足为B，如图所示．

依题意，∠COB=α
又由△OBC知：sin α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$      
设光线在C点的折射角为β，
由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}$=n
联立得 β=30°                
何关系知，光线在球体的竖直表面上的入射角γ如图所示为 γ=30°
由折射定律得  $\frac{sinθ}{sinγ}$=n
解得 θ=60°．   
（ii）由几何知识知△ACO为等腰三角形，故2AC•cos 30°=R         
光线在球体内的传播速度为 v=$\frac{c}{n}$
设光穿越球体的时间为t，则t=$\frac{AC}{v}$
联立得 t=$\frac{R}{c}$
答：
（i）出射角θ是60°；
（ii）光穿越球体的时间是$\frac{R}{c}$．

点评 本题作光路图时，要注意当光线从球体入射时，法线就是入射点与球心的连线；当光线射出时，法线与界面垂直，本题两次使用折射定律解题．