Question

7．要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道．求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．有关数据见表格．

启动加速度a1	4m/s2
制动加速度a2	8m/s2
直道最大速度v1	40m/s
弯道最大速度v2	20m/s
直道长度s	285m

某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v₁=40m/s，然后再减速到v₂=20m/s，t₁=$\frac{v_1}{a_1}$=…；t₂=$\frac{{{v_1}-{v_2}}}{a_2}$=…；t=t₁+t₂，你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果．

Answer 1

分析 为了能够尽快走完直道，则需要先加速到最大速度，然后匀速一段距离，最后减速到最大速度进①入弯曲轨道．

解答 解：假设不合理．
由静止加速到最大速度v₁，设加速的时间为t₁，根据匀变速直线运动的速度时间关系：v=v₀+at可知：
${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{40}{4}s=10s$     ①
在这段加速的时间内，设位移为x₁，根据位移公式${v}_{1}^{2}=2a{x}_{1}$可知：
${x}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{40}^{2}}{2×4}m=200m$       ②
设在经过t₂后减速到v₂=20 m/s，根据匀变速直线运动的速度时间关系：v=v₀+at可知：
${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{20-40}{-8}s=2.5s$ 　　③
在这段减速的时间内，设位移为x₂，根据位移公式${v}_{2}^{2}{-v}_{1}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$可知：
运动位移${x}_{2}=\frac{{v}_{2}^{2}{-v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{2{0}^{2}-4{0}^{2}}{2×（-8）}=75m$　　④
由于x₁+x₂=275m＜285m，所以不合理．
因此，加速运动与减速运动之间还有一段匀速运动，设匀速直线运动时间为t₃，根据x=vt₃可知：
${t}_{3}=\frac{x}{{v}_{3}}=\frac{285-275}{40}s=0.25s$    ⑤
正确结果为t=t₁+t₂+t₃=12.75s　
答：摩托车在直道上行驶所用的最短时间为12.75s

点评 本题需要通过v-t图象先判断出达到最小时间的物理过程．