Question

14．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=1m的$\frac{1}{4}$圆形轨道，BC段为高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2kg的小球由A点运动到B点，离开B点做平抛运动，由于存在摩擦力的缘故小球在圆弧轨道上的速度大小始终为2m/s．（g取10m/s²），求：
（1）小球从A点运动到水平轨道的时间；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析 （1）根据圆弧轨道的弧长和线速度的大小求出小球从A点运动到B点的时间，结合平抛运动的时间求出小球从A点到水平轨道的时间．
（2）根据牛顿第二定律，结合B点的线速度大小求出支持力，从而得出小球对B点的压力大小．
（3）根据平抛运动到地面的时间，求出水平位移，判断能否落在斜面上．如果能，结合竖直位移和水平位移的关系求出运动的时间，结合水平距离求出落点的位置．

解答 解：（1）小球从A到B的时间为：${t}_{1}=\frac{\frac{πR}{2}}{v}=\frac{\frac{π×1}{2}}{2}=\frac{π}{4}s$，
平抛运动的时间为：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s=1s$，
则小球从A点运动到水平轨道的时间为：t=${t}_{1}+{t}_{2}=（\frac{π}{4}+1）s$．
（2）根据牛顿第二定律得：$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+$m\frac{{v}^{2}}{R}$=$2+0.2×\frac{4}{1}N=2.8N$．
（3）水平位移为：x=vt₂=2×1m=2m＜5m，
根据$tan45°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，t=$\frac{2{v}_{0}tan45°}{g}=\frac{2×2}{10}s=0.4s$，
则小球的水平位移为：x₁=vt=2×0.4m=0.8m，
竖直方向上的位移为：${y}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.16m=0.8m$，
则距离地面的高度为：y₂=5-0.8m=4.2m．
答：（1）小球从A点运动到水平轨道的时间为$（\frac{π}{4}+1）s$；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力为2.8N．
（3）能落到斜面上，落点与竖直轨道BC的距离为0.8m，与水平轨道CD的距离为4.2m．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．