Question

7．某星球“一天”的时间是T=6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？

Answer 1

分析 在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力．
物体飘起相当于行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，其轨道半径近似等于星体半径R．由万有引力充当向心力可解的卫星的周期T′．

解答 解：在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，即$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg；
在赤道上，万有引力产生了两个作用效果，一是让物体随行星一起自转，需要自转向心力，二是让物体来挤压地面，产生重力．
即在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg′+$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
所以mg-mg′=0.1×$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
物体飘起其运动的周期为T′，则　
F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T′}^{2}}$R
0.1×$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
解得：T′=$\frac{\sqrt{10}}{10}$T=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$h，
答：使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$h．

点评 解决此类问题的关键是找到物体和卫星做圆周运动所需要的向心力的来源，并结合万有引力定律解决问题．