Question

14．如图所示，平行金属导轨AGT和DEF足够长，导轨宽度L=2.0m，电阻不计，AG和DE部分水平、粗糙；GT和EF部分光滑、倾斜，倾角θ=53°，整个空间存在与导轨GT和EF垂直向上的匀强磁场，磁感应强度B=1.0T．金属杆M质量m₁=2.0kg，电阻R₁=1Ω，轻弹簧K一端固定于O点，O点在bb′中点正上方，另一端系于金属杆M都为中点，轻弹簧劲度系数k=30N/m，金属杆M初始在图中aa′位置静止，弹簧伸长△l=0.2m，与水平方向夹角α=60°，ab=bc=a′b′=b′c′，另一质量m₂=1.0kg，电阻R₂=2Ω的金属杆P从开始下滑x=3.0m达到平衡状态，金属杆M也刚好达到cc′位置静止，已知重力加速度g=10m/s²，求：
（1）金属杆P的最终速度大小；
（2）金属杆M在cc′位置静止时所受的摩擦力；
（3）此过程中若金属杆M克服摩擦力做功W_f=2J，则金属杆P上产生的热量是多少？

Answer 1

分析 （1）金属杆P从开始下滑x=3.0m达到平衡状态，有牛顿第二定律结合法拉第电磁感应定律和安培力公式求解
（2）由1中求得回路中电流，求出安培力对M棒受力分析可得，
（3）根据能量守恒定律，求解产生的热量；

解答 解：（1）设最终速度为v，p棒向下运动产生感应电流$I=\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，对p棒有右手定则可知电流由s′到s，再由左手定则可判定安培力沿斜面向上，还受到重力和支持力，
对p棒有牛顿定律得：BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=mgsin53°，即：$\frac{{1}^{2}×{2}^{2}×v}{1+2}=1×10×0.8$，解得：v=6m/s；
（2）当M棒运动到cc′时，根据对称性，对M棒受力分析，受重力和弹簧弹力F=kx=30×0.2=6N，向左的摩擦力，由左手定则判定安培力与水平方向成53°斜向右下方，
由于金属杆M在cc′位置静止，则由：BILcos53°=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}}$cos53°=kxsin30°+f，
代入数据：$\frac{{1}^{2}×{2}^{2}×6}{2+1}×0.6=30×0.2×0.5+f$，
解得：f=1.8N
（3）根据能量守恒定律，可得：$mgxsin53°=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}+{Q}_{P}+{Q}_{M}+{W}_{f}$
代入数据：$1×10×3×0.8=\frac{1}{2}×1×{6}^{2}+{Q}_{P}+{Q}_{M}+2$
解得：Q_P+Q_M=4J①
根据串并联电路特点得：Q_P：Q_M=2：1②
联立①②解得：Q_P=$\frac{8}{3}J$；
答：（1）金属杆P的最终速度大小为6m/s；
（2）金属杆M在cc′位置静止时所受的摩擦力为1.8N；
（3）金属杆P上产生的热量是$\frac{8}{3}J$

点评 本题是力电综合题，难度适中，合理的利用法拉第电磁感应定律和牛顿第二定律及欧姆定律即可解题，关键在于规律应用时，分清研究对象找清规律，合理利用．