Question

8．如图（1）为龙门吊车的示意图，龙门架A、B的宽度L=10m，天车（质量忽略不计）通过钢缆吊运货物，天车以v=0.1m/s的速度在水平横梁上某一位置起缓慢向右移动，同时货物以加速度a₁=2.5m/s²开始竖直加速上升．在支架B的底部装有力传感器，其示数变化如图（2）中a线所示，a线的斜率数值为0.25．第二次货物在竖直方向上的加速度变为a₂，其他条件不变，得到另一条图线b，斜率数值为0.18，且图线a、b相交于c点，已知c点坐标（-10，2.5）．重力加速度g为10m/s²．求：

（1）货物的质量；
（2）龙门架本身的质量；
（3）天车开始移动的初始位置到A点的距离；
（4）第二次货物的加速度a₂．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律，结合图象列出表达式，依据斜率，即可求解；
（2）由图象交点，及压力与时间的表达式，即可求解；
（3）根据图线a、b均过c点（-10，2.5），即可求解；
（4）根据图象斜率，从而求得加速度大小与方向．

解答 解：（1）由牛顿第二定律，则有钢缆受力：T-Mg=Ma；
解得：T=M（g+a）；
以A为轴：T•（x₀+vt）+mg$\frac{L}{2}$=N_B•L；
解得：N_B=$\frac{M（g+a）}{L}$（x₀+vt）+$\frac{1}{2}mg$；
结合图象可知，斜率${k}_{1}=\frac{M（g+{a}_{1}）v}{L}$=0.25×10⁴
解得：M=2×10⁴kg；
（2）由于图线a、b均过c点（-10，2.5），可得：
$\frac{1}{2}mg=2.5×1{0}^{4}$N
解得：m=5×10³kg；
（3）由于图线a、b均过c点（-10，2.5），可得：x₀=1m；
（4）同理，由图象可知，斜率k₂=$\frac{M（g+{a}_{2}）v}{L}$=0.18×10⁴
解得：a₂=-1m/s²，即货物的加速度竖直向下；
答：（1）货物的质量2×10⁴kg；
（2）龙门架本身的质量5×10³kg；
（3）天车开始移动的初始位置到A点的距离1m；
（4）第二次货物的加速度-1m/s²，即货物的加速度竖直向下．

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握图象列出表达式，及图象的斜率的应用，注意两图象交点的应用是解题的关键．