Question

2．如图所示，一质量为m=0.1kg的小球，可视为质点，从半径为R=0.5m的竖直放置的半圆形光滑轨道的最高点B点水平飞入，恰能沿圆轨道内壁从B点运动到最低点A．小球经过A点后水平飞出，垂直于斜面击中倾角为θ=30°的斜面上的C点，不计空气阻力，g=10m/s²．求：
（1）小球经过轨道最低点A时对轨道的压力；
（2）轨道A点和斜面C点间竖直高度．

Answer 1

分析 （1）小球恰能沿圆轨道内壁运动，在B点，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解B点的速度；从B到A过程，机械能守恒，根据守恒定律列式求解A点的速度；在A点，支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解支持力，最后根据牛顿第三定律得到压力；
（2）从A到C是平抛运动，根据平抛运动的分速度公式求解C点的竖直分速度，结合位移公式求解A点和C点间竖直高度．

解答 解：（1）小球恰能沿着竖直轨道运动，在B点，由牛顿第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$   ①
从B到A过程，根据守恒定律，有：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ ②
在A点，根据牛顿第二定律，有：
${F}_{A}-mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ ③
联立①②③解得：
v_B=$\sqrt{5}$m/s
v_A=5m/s
F_A=6N 
根据牛顿第三定律，压力为6N；
（2）小球经过A点后水平飞出，做平抛运动，垂直于斜面击中倾角为θ=30°的斜面上的C点，故在C点的速度方向与水平方向的夹角为60°；
根据分运动公式，有：
tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$
故${v}_{y}=5\sqrt{3}$m/s
故高度差：h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}=\frac{（5\sqrt{3}）^{2}}{2×10}$=3.75m
答：（1）小球经过轨道最低点A时对轨道的压力为6N；
（2）轨道A点和斜面C点间竖直高度为3.75m．

点评 本题关键是对小球进行过程分析和状态分析，明确向心力来源，结合牛顿第二定律、机械能守恒定律和平抛运动的分运动公式列式求解．