Question

17．如图甲所示，在xOy竖直平面内存在竖直方向的匀强电场，在第一象限内有一与x轴相切于点（2R，0）、半径为R的圆形区域，该区域内存在垂直于xOy面的匀强磁场，电场与磁场随时间变化如图乙、丙所示，设电场强度竖直向下为正方向，磁场垂直纸面向里为正方向，电场、磁场同步周期性变化（每个周期内正反向时间相同）．一带正电的小球A沿y轴方向下落，t=0时刻A落至点（0，3R），此时，另一带负电的小球B从最高点（2R，2R）处开始在磁场内紧靠磁场边界作匀速圆周运动；当A球再下落R时，B球旋转半圈到达点（2R，0）；当A球到达原点O时，B球又旋转半圈回到最高点；然后A球开始匀速运动，两球的质量均为m，电量大小均为q．（不计空气阻力及两小球之间的作用力，重力加速度为g）求：

（1）匀强电场的场强E的大小；
（2）小球B作匀速圆周运动的周期T及匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）电场、磁场变化第一个周期末AB两球间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据小球做匀速圆周运动可知，电场力和重力相互平衡，则可求得电场强度；
（2）明确A球的运动状态及AB两球的等时性，则可求得B球圆周运动的周期T；再对B球由洛仑兹力充当向心及周期公式可求得磁感应强度；
（3）明确电场变化与圆周运动周期的关系，根据后来两球的运动状态，分别求得两球的位置，即可求得两球间的距离．

解答 解：（1）小球B匀速圆周运动时，则有：
Eq=mg
解得E=$\frac{mg}{q}$；
（2）设小球B的运动周期为T
对A小球：Eq+mg=ma
a=2g；
由题意可知，A在连续相等的时间内，位移之差为R，则有△x=aT²可得：
R=a（$\frac{T}{2}$）²
解得；T=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
对B小球，Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\frac{2πR}{T}$
解得：B=$\frac{πm}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（3）由分析可得，电磁场变化周期是B球圆周运动周期的2倍，
对小球A分析可知，小球A在原点的速度为v_A=$\frac{3R}{T}$+a$\frac{T}{2}$
在原点下的位移为y_A=v_AT
解得：y_A=5R；
2T末，小球A的坐标为（0，-5R）
对小球B可知，B的线速度v_B=$π\sqrt{2gR}$
小球的水平位移为x_b=v_BT=2πR
竖直位移y_b=$\frac{1}{2}$aT²
解得y_b=2R；
2T末，小球B的坐标为[（2π+2）R，0]
则2T末，AB两球的距离为AB=$\sqrt{25+（2π+2）^{2}}R$
答：（1）匀强电场的场强E的大小为$\frac{mg}{q}$；
（2）小球B作匀速圆周运动的周期T为$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{πm}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（3）电场、磁场变化第一个周期末AB两球间的距离$\sqrt{25+（2π+2）^{2}}R$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，要注意明确本题中粒子运动的过程，分别对两球进行分析，选择合适的物理规律进行求解即可；同时要注意紧扣两球的时间相等；从而确定二者间的联系．