题目内容

如图所示,带电平行金属板PQ和MN之间的距离为d;两金属板之间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.建立如图所示的坐标系,x轴平行于金属板,且与金属板中心线重合,y轴垂直于金属板.区域I的左边界是y轴,右边界与区域II的左边界重合,且与y轴平行;区域II的左、右边界平行.在区域I和区域II内分别存在匀强磁场,磁感应强度大小均为B,区域I内的磁场垂直于Oxy平面向外,区域II内的磁场垂直于Oxy平面向里.一电子沿着x轴正向以速度v0射入平行板之间,在平行板间恰好沿着x轴正向做直线运动,并先后通过区域I和II.已知电子电量为e,质量为m,区域I和区域II沿x轴方向宽度均为
3
mv0
2Be
.不计电子重力.
(1)求两金属板之间电势差U;
(2)求电子从区域II右边界射出时,射出点的纵坐标y;
(3)撤除区域I中的磁场而在其中加上沿x轴正向的匀强电场,使得该电子刚好不能从区域II的右边界飞出.求电子两次经过y轴的时间间隔t.
(1)电子在平行板间做直线运动,电场力与洛伦兹力平衡,
由平衡条件得:eE=ev0B,①电场强度E=
U
d
,②
由①②两式联立解得:U=Bv0d;
(2)如右图所示,电子进入区域I做匀速圆周运动,
向上偏转,洛伦兹力提供向心力,
由牛顿第二定律得:ev0B=m
v20
R
,③
设电子在区域I中沿着y轴偏转距离为y0,区域I的宽度为b(b=
3
mv0
2Be
),
由数学知识得:(R-y02+b2=R2,④
由③④式联立解得:y0=
mv0
2eB

因为电子在两个磁场中有相同的偏转量,
故电子从区域II射出点的纵坐标y=2y0=
mv0
eB

(3)电子刚好不能从区域II的右边界飞出,
说明电子在区域II中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域II的右边界相切,
圆半径恰好与区域II宽度相同.电子运动轨迹如下图所示.设电子进入区域II时的速度为v,
由牛顿第二定律得:evB=m
v2
r
,⑤
由人r=b得:v=
3
2
v0
电子通过区域I的过程中,向右做匀变速直线运动,
此过程中平均速度
.
v
=
v0+v
2

电子通过区域I的时间:t1=
b
.
v
(b为区域I的宽度
3
mv0
2Be
)⑥,
解得:t1=2(2
3
-3)
m
eB

电子在区域II中运动了半个圆周,设电子做圆周运动的周期为T,
由牛顿第二定律得:evB=m
v2
r
⑦,v=
2πr
T
⑧,
电子在区域II中运动的时间:t2=
T
2
=
πm
eB
⑨,
由⑦⑧⑨式解得:t2=
πm
eB

电子反向通过区域I的时间仍为t1,电子两次经过y轴的时间间隔:
t=2t1+t2=(8
3
-12+π)
m
eB
5m
eB

答:(1)两金属板之间电势差为Bv0d;
(2)电子从区域II右边界射出时,射出点的纵坐标
mv0
eB

(3)电子两次经过y轴的时间间隔为
5m
eB

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