【题目】已知直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设坐标原点为O.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点，若，求直线l的方程；

（3）设在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

【题目】已知数列的通项公式为，其中且.

（1）若是正项数列，求的取值范围；

（2）若，数列满足，且对任意，均有，写出所有满足条件的的值；

（3）若，数列满足，其前n项和为，且使的i和j至少4组，、、……、中至少有5个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，满足的充要条件并加以证明.

【题目】已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.

（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；

（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；

（3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，，当时，，求当时，函数的解析式和零点.

【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元件．

（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

【题目】设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数是“似周期函数”；

③函数是“似周期函数”；

④如果函数是“似周期函数”，那么“”．

其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）

【题目】对于双曲线：（），若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.

（1）若直线上点都在的外部，求的取值范围；

（2）若过点，圆（）在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；

（3）若曲线（）上的点都在的外部，求的取值范围.

【题目】已知数列的通项公式为，其中，、.

(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.

(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.

(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.

【题目】如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为.若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度(精确到).

【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.设数列的前n项和为且满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若求正整数的值；

（3）是否存在正整数，使得恰好为数列的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

【题目】已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为.

（1）求双曲线的方程，并求出点的坐标（用表示）；

（2）设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点.问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）若过点的直线与双曲线交于两点，且，试求直线的方程.