题目内容
【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
【答案】(1) 、
(答案不唯一).(2) 7,8,9,10,11.(3)
的最小值为
.
的最小值为
【解析】
(1)只要均小于1即可;
(2)利用对勾函数的单调性分类讨论,注意
的取值只能是正整数.
(3),且
,求出
因为,只有四组
,利用二次函数的性质得
,进一步得
,
的四个值为
,
,
,
,因此,
的最小值为
.再由
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,则
中接着至少有两个0,从而可得
的最小值.
(1)、
(答案不唯一).
(2)由题设,.
当,
单调递增,不合题意,
时,
,
在
时单调递增,不合题意,因此,
.
当时,对于
,当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.
由题设,有,
.
于是由及
,可解得
.
因此,的值为7,8,9,10,11.
(3)因为,且
,
所以
因为(
、
,
),所以
、
.
于是由,可得
,进一步得
,
此时,的四个值为
,
,
,
,因此,
的最小值为
.
又、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,不妨设
,于是有
,因为当
时,
,所以
,
因此,,即
的最小值为
.
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