【题目】已知函数．

Ⅰ当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；

Ⅱ当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围．

【题目】数列1，1，3，3，，，…，，是由两个1，两个3，两个，…，两个按从小到大顺序排列，数列各项的和记为，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项方案，和数为的所有选项方案的种数记为.试求：

的值.

【题目】正项数列的前项和为，且.

（Ⅰ）试求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求的前项和为.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.

【题目】若函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（Ⅰ）若，求函数的解析式；

（Ⅱ）若，方程至少有两个不等的解，求的取值集合；

（Ⅲ）若函数为上的单调减函数，

①求的取值范围；

②若不等式成立，求实数的取值集合.

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

【题目】已知函数．

（1）当时,求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极值,求函数在上的最大值与最小值．

【题目】已知， ， .

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若，“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.

【题目】如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点分别在与上），为切点，设.

（1）试求观光道路长度的最大值；

（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值.

【题目】正整数的所有约数之和用表示，（比如）.试答下列各问：

（1）证明：如果和互质，那么；

（2）当是的约数（），且.试证是质数.其次，如果是正整数，是质数，试证也是质数；

（3）设（为正整数，为奇数），且.试证存在质数，使得.

【题目】有编号为1，2，3…n的n个学生，入座编号为1，2，3…n的n个座位，每个学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为, 已知时, 共有6种坐法.

（1）求的值；

（2）求随机变量的概率分布列及数学期望．