题目内容
【题目】正整数的所有约数之和用
表示,(比如
).试答下列各问:
(1)证明:如果和
互质,那么
;
(2)当是
的约数(
),且
.试证
是质数.其次,如果
是正整数,
是质数,试证
也是质数;
(3)设(
为正整数,
为奇数),且
.试证存在质数
,使得
.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3) (
为质数)
【解析】
(1)设的约数为
,
的约数为
.因
,
互质,故
的约数是
(
,
).有
.
(2)因,
,1是
的约数,如果
,则
,故
.因此仅当
时,才能有
,亦即对
来说,除
和1之外再无约数,故
为质数.一般地,由
,
如果,则
,
它的任何一个因数也不为1,因此非质数.
(3)因为和
互质.
.
另一方面,由,
, ①
因为是奇数,故
(
是奇数),由①得
,亦即
,
是
的约数.
,因此
,由此引用(2)的前半部,
,
为质数.
则 是质数,
即 是质数.
综合以上可得(
为质数).
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练习册系列答案
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的线性回归方程
;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值)
(附,
,其中
,
为样本均值)