题目内容
【题目】正项数列的前
项和为
,且
.
(Ⅰ)试求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求
的前
项和为
.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对一切
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由
两式相减,变形即可证明数列
为等差数列,进而结合首项与公差求得
的通项公式.
(Ⅱ)由(Ⅰ)中可求得
.将
与
代入
即可求得数列
的通项公式,利用裂项法即可求得前
项和
.
(Ⅲ)先求得的取值范围,结合不等式
,即可求得
的取值范围.
(Ⅰ)因为正项数列的前
项和为
,且
化简可得
由递推公式可得
两式相减可得,变形可得
即,由正项等比数列可得
所以
而当时,
解得
所以数列是以
为首项,以
为公差的等差数列
因而
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
则
代入中可得
所以
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
则,所以数列
为单调递增数列,则
且当时,
,即
所以
因为对一切
的
恒成立
则满足,解不等式组可得
即实数的取值范围为
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【题目】每年的金秋十月,越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行,该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染,某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数(万人)与沙漠中所需环保车辆数量
(辆),得到如下统计表:
参会人数 | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
所需环保车辆 | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(1)根据统计表所给5组数据,求出关于
的线性回归方程
.
(2)已知租用的环保车平均每辆的费用(元)与数量
(辆)的关系为
.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车,
每辆支付费用6000元,超出实际需要的车辆,主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加,根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程,预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下,应租用多少辆环保车?获得的利润是多少?(注:利润
主办方支付费用
租用车辆的费用).
参考公式: